Rozwiąż rekurencje

[serjtankian]

\(\displaystyle{ Q_{0} = \alpha}\)
\(\displaystyle{ Q_{1} = \beta}\)

\(\displaystyle{ Q_{n} = \frac{1+Q_{n-1}}{Q_{n-2}}}\) dla n>1

Załóżmy, że \(\displaystyle{ Q_{n} \neq 0}\) dla każdego \(\displaystyle{ n \ge 0}\)
Wskazówka: \(\displaystyle{ Q_{4}= \frac{1+ \alpha }{ \beta }}\)


Jak rozwiązać to zadanie? Czy mam po prostu obliczać kolejne Q ?

[JakimPL]

Ten ciąg jest okresowy, może spróbuj to wykazać.

[serjtankian]

Czyli tak czy tak muszę policzyć te kolejne Q tak?
Tylko wychodzą mi jakieś dziwne rzeczy i nie zaobserwowałem okresowości..

[JakimPL]

Nie trzeba. Co prawda topornie się to pokazuje, ale wychodzi:

\(\displaystyle{ Q_5 = \frac{1+Q_4}{Q_3}= \frac{1+ \frac{1+Q_3}{Q_2}}{ \frac{1+Q_2}{Q_1}}=\frac {Q_ 1 (1 + Q_ 2 + Q_ 3)} {Q_ 2 (1 + Q_ 2)}=\frac {Q_ 1 \left(1 + \frac{1+Q_1}{Q_0} + \frac{1+Q_2}{Q_1}\right)} { \frac{1+Q_1}{Q_0} \left(1 + \frac{1+Q_1}{Q_0}\right)}=\frac {Q_ 0 ((1 + Q_ 1) (Q_ 0 + Q_ 1) + Q_ 0 \frac{1+Q_1}{Q_0})} {(1 + Q_ 1) (1 + Q_ 0 + Q_ 1)}=Q_0 = \alpha}\)

Na podstawie rekurencji otrzymamy okresowość, jeżeli jeszcze pokażemy, że \(\displaystyle{ Q_6 = \beta}\). To pozwala dobrze określić ciąg. No chyba, że wymagany jest wzór jawny, to okresowość nic tu nie daje.