Rozdawanie cukierków dzieciom

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
kasia198
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 26 mar 2012, o 16:55
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa

Rozdawanie cukierków dzieciom

Post autor: kasia198 »

1. Na ile sposobów można rozdać pięciorgu dzieciom 15 cukierków, jeśli wszystkie cukierki są różne i każde dziecko ma dostać po trzy cukierki ?
nivwusquorum
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 93
Rejestracja: 31 maja 2007, o 17:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chojnice
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3 razy

Rozdawanie cukierków dzieciom

Post autor: nivwusquorum »

Najłatwiej jakbyś o tym myślał jako o rozdawaniu dzieci cukierkom. Dzieci masz 15 - 5 rozdzajów z każdego po 3.

Teraz wyobraź sobie że cukierki leżą na podłodze w linii. Wtedy przydzielenie dzieci polegałoby na ustawienie się dzieci w szeregu przed cukierkiem który wybrali.

Świta? Tak, to permutacje z powtórzeniami - po prostu wyobraź sobie że masz 15 piłek w 5ciu kolorach (czerwony, zielony, czarny, granatowy i pomarańczowy), po 3 z każdego koloru. Teraz tak. Możemy oszacować, że ilość sposobów na ustawienie ich w linii to 15!, ale to nie uwzględnia tego że niektóre piłki są nierozróżnialne. Np. wezmy sobie jakąś permutacje która ma czerwone piłki na 1,2 i 4tej pozycji. My biorąc ją pod uwagę liczymy 3! permutacji:
12x3xxxxxxxxxxx
13x2xxxxxxxxxxx
21x3xxxxxxxxxxx
23x1xxxxxxxxxxx
31x2xxxxxxxxxxx
32x1xxxxxxxxxxx
Tak więc żeby każdą permutację która zawiera czerwone piłki liczymy o 6 razy za duzo. Aby wziąc to pod uwagę dzielimy wynik przez 3!. To rozumowanie powtarzamy dla każdego z 5ciu kolorow i konczymy z:
\(\displaystyle{ \frac{15!}{(3!)^5}}\)

Mam nadzieję, żę pomogłem.
ODPOWIEDZ