Wiemy, że \(\displaystyle{ A(x)}\) to funkcja tworzącą ciągu \(\displaystyle{ (a_n)}\). Wyznaczyć funkcję tworzącą \(\displaystyle{ B(x)}\) ciągu:
\(\displaystyle{ b_n= \begin{cases} a_n \quad \ n=2k \\ 0 \qquad n=2k+1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n=\sum_{n=0}^{\infty}a_{2n}x^{2n}=\sum_{n=0}^{\infty}a_{2n}(x^2)^n}\)
Czyli \(\displaystyle{ B(x)=A_2(x^2)}\) gdzie \(\displaystyle{ A_2(x)}\) to funkcja tworząca ciągu \(\displaystyle{ (a_0, 0, a_2, 0, a_4, ...)}\). Jak jednak znaleźć zależność między \(\displaystyle{ A_2}\) a \(\displaystyle{ A}\)? Próbowałem wykorzystać tutaj splot dwóch ciągów, ale chyba nie o to w tym chodzi. Proszę o pomoc. Pozdrawiam.
Edit: dobra, już mam:) wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ b_n=\frac{1+(-1)^n}{2}a_n}\), dalej to już oczywiste co robic:)