Bijekcje i wzór na liczbę kombinacji dopełniających

[opheliac]

Z istnienia jakich dwóch różnych bijekcji wynika wzór:
\(\displaystyle{ {n \choose k} = {n \choose n-k}}\) ?

Nie wiem jak się za to zabrać, proszę choć o jakieś wskazówki co do metody.

[bartek118]

\(\displaystyle{ f\left( A\right) = A' \right}\) dla \(\displaystyle{ A \subseteq \left\{ 1, 2, ..., n\right\}}\)

[opheliac]

Mógłbyś jakoś opisać rozwinąć to co napisałeś? Moja wiedza na temat tego co napisałam jest naprawdę znikoma.

[bartek118]

Ustalamy \(\displaystyle{ k \in \mathbb{N}}\).

Rozpatruję zbiory:

\(\displaystyle{ X = \left\{ A \in 2^{\left\{ 1,2,...,n\right\} } \ | \ \left| A\right|=k }\right\} \\
Y = \left\{ A \in 2^{\left\{ 1,2,...,n\right\} }\ | \ \left| A\right|=n-k }\right\}}\)

Wówczas definiuję funkcję \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) wzorem \(\displaystyle{ f(A)=A'}\). Pozostaje wykazać, że jest to bijekcja, ale nie jest to trudne - wystarczy wskazać odwzorowanie odwrotne - okazuje się, że odwrotne jest zadane tym samym wzorem.

No ale \(\displaystyle{ \left| X\right| = {n \choose k}}\) a \(\displaystyle{ \left| Y\right| = {n \choose n-k}}\).