Znalezienie wyrazu ogólnego ciągu, mając funkcję tworzącą

[brylcio16]

Witam. Mam taki o to przykład (funkcję tworzącą)
\(\displaystyle{ A(x)=\frac{1}{1+ x^{3} }}\)
no i nie wiem jak się za niego zabrać, aby stworzyć wzór jawny na element ciągu...
ogólnie, to robiłem tak, że rozkładałem na ułamki proste i tworzyłem sumę, następnie odczytywałem ten ciąg z sumy.
Ale tutaj totalnie nie wiem jak zacząć . jakbym chciał rozłożyć \(\displaystyle{ 1+x^{3}}\) to co najwyżej chyba na \(\displaystyle{ (1+x)(1-x+x^{2})}\). i to co by wyszło z mianownikiem 1+x, wiedziałbym co zrobić, ale to co by wyszło z mianownikiem \(\displaystyle{ (1-x+x^{2})}\) nie mam pojęcia...
Może w ogóle się źle za to zabieram?
Mógłby ktoś dać jakąś wskazówkę, coś poprawić w moim rozumowaniu, albo rozwiązać krok po kroku, żebym mógł przeanalizować?

Proszę o pomoc ;D

[zidan3]

Nie wiem czy o to Ci dokładnie chodzi:
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+x^3}= \frac{1}{1-(-x)^3}= \sum_{n=0}^{\infty}(-x)^{3n}}\)
?
Oczywiscie w promieniu zbieżności.

[brylcio16]

chyba nie o to .
ja musze to przekształcić do takiej postaci, zeby mi wyszlo (z definicji funkcji tworzącej)
\(\displaystyle{ \sum_{ n=0 }^{\infty} a_{n} \cdot x ^{n}}\)
gdzie \(\displaystyle{ a_{n}}\) to mój poszukiwany jawny wzór na ciąg i tam chyba nie może być zadnych x-ów .
Chyba, że z tej sumy da się coś zrobić, tylko ja i tak nie wiem jak .

[Qń]

Przecież podana suma właśnie jest funkcją tworzącą i można z niej odczytać, że \(\displaystyle{ a_{3n}=(-1)^n}\) a wyrazy o indeksach niepodzielnych przez trzy są równe zero.

Q.

[brylcio16]

hmm... ok , dzięki za pomoc .
A taki przykład:
\(\displaystyle{ \frac{x^{2} }{1-x}}\) ?
ja zrobiłem tak, ale nie wiem czy dobrze .
\(\displaystyle{ x ^{2} \sum_{n=0}^{ \infty }x ^{n} = \sum_{n=0}^{ \infty }x^{n+2}}\)
i \(\displaystyle{ a_{n}}\) według mnie to
\(\displaystyle{ a_{n}=1}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\)
dobrze rozumuję, czy nie? .