w matematyce konkretnej mam taki wzorek \(\displaystyle{ \left(\ln \frac{1}{1-z}\right)^m=m! \sum_{n\ge 0}^{} \left[ \begin{array}{c} n\\m \end{array} \right] \frac{z^n}{n!}}\) ktory jest mi poczebny jak go udowodnic ??
-- 18 mar 2012, o 19:15 --
to nawet samym \(\displaystyle{ \sum_{n\ge 0}^{} \left[ \begin{array}{c} n\\m \end{array} \right] \frac{z^n}{n!}}\) mozna by sie zajac, interproetacja kombinatoryczna bylaby jakas taka, ze jest to wykladnicza funkcja tworzaca ciagu \(\displaystyle{ a_n=}\)ilosc \(\displaystyle{ m}\) cykli \(\displaystyle{ n}\), dla wczesniej ustalonego \(\displaystyle{ m}\),ale nie wiem jak stworzyc ta funkcje na podstawie tych danych
funkcja tworzaca liczb stirlinga
-
- Użytkownik
- Posty: 330
- Rejestracja: 21 sty 2012, o 20:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: ut
- Podziękował: 182 razy
- Pomógł: 1 raz
funkcja tworzaca liczb stirlinga
a indukcja to nie jest jakos tak nieelegancko?? bo szczerze mowiac to bardziej interesuje mnie wyprowadzanie takich rzeczy
w pierwszym poscie uzylem slowa 'udowodnic' co faktycznie moglo skierowac w inna strone
-- 19 mar 2012, o 21:21 --
pytanie o metody wyprowadzania jest aktualne ale indukcja tez dobra chyba nie mam co wybrzydzac
indukcja oczywiscie po \(\displaystyle{ m}\) ale klopot mam z ta liczba stirlinga. co tutaj mozna zastosowac oprocz wzoru rekurencyjnego na liczby stirlinga ??? bo zostaje mi ciagle u dolu w tej liczbie \(\displaystyle{ m+1}\) i nie wiem co z tym mozna zrobic
w pierwszym poscie uzylem slowa 'udowodnic' co faktycznie moglo skierowac w inna strone
-- 19 mar 2012, o 21:21 --
pytanie o metody wyprowadzania jest aktualne ale indukcja tez dobra chyba nie mam co wybrzydzac
indukcja oczywiscie po \(\displaystyle{ m}\) ale klopot mam z ta liczba stirlinga. co tutaj mozna zastosowac oprocz wzoru rekurencyjnego na liczby stirlinga ??? bo zostaje mi ciagle u dolu w tej liczbie \(\displaystyle{ m+1}\) i nie wiem co z tym mozna zrobic
-
- Użytkownik
- Posty: 74
- Rejestracja: 20 kwie 2010, o 18:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: P-ków Tryb.
- Pomógł: 8 razy
funkcja tworzaca liczb stirlinga
Probuje to udowodnic indukcja ale podobnie jak kolega wyzej mam problem z ta liczba Strilinga... Ma ktos jakis pomysl/wskazowke? W ktorym momencie skorzystac z pochodnych?
-
- Użytkownik
- Posty: 18
- Rejestracja: 11 lis 2011, o 00:04
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1 raz
funkcja tworzaca liczb stirlinga
Indukcja po m.
\(\displaystyle{ \left( \ln \frac{1}{1-x} \right) ^{m+1} = \left( \ln \frac{1}{1-x} \right) \left( \ln \frac{1}{1-x} \right) ^{m}}\)
Rozwinąć ten pierwszy logarytm w szereg, skorzystać z założenia indukcyjnego, pomnożyć wykładnicze fcje tworzące (splot dwumianowy). A że to, co w ten sposób wyjdzie, to to samo, co chcemy, łatwo jest pokazać kombinatorycznie.
\(\displaystyle{ \left( \ln \frac{1}{1-x} \right) ^{m+1} = \left( \ln \frac{1}{1-x} \right) \left( \ln \frac{1}{1-x} \right) ^{m}}\)
Rozwinąć ten pierwszy logarytm w szereg, skorzystać z założenia indukcyjnego, pomnożyć wykładnicze fcje tworzące (splot dwumianowy). A że to, co w ten sposób wyjdzie, to to samo, co chcemy, łatwo jest pokazać kombinatorycznie.