Witam!
Do policzenia jest liczba możliwych kodów pięciocyfrowych, które spełniają dwa warunki:
1. Kod musi zawierać co najmniej jedną cyfrę parzystą i jedną cyfrę nieparzystą.
2. Kod musi zawierać co najmniej trzy różne cyfry.
Aby rozwiązać zadanie, postanowiłem znaleźć kody, które nie pasują do opisu. Tak więc:
Liczba kodów, które składają się z samych cyfr parzystych:
\(\displaystyle{ 5^5}\)
Ponieważ na każdym miejscu możemy postawić dowolną z pięciu liczb parzystych. Ponadto, w tym zbiorze zawiera się część liczb łamiących drugi warunek, tj. np. liczby typu \(\displaystyle{ 22222}\) czy \(\displaystyle{ 66226}\). Dla cyfr nieparzystych jest identycznie, czyli takich "niedozwolonych" kodów pierwszego rodzaju mamy:
\(\displaystyle{ 2\cdot 5^5}\)
Jeśli chodzi o drugi warunek, to musimy policzyć kody składające się z dwóch różnych cyfr. Kody z jednej cyfry są już policzone powyżej, podobnie kody z dwóch cyfr parzystych i kody z dwóch cyfr nieparzystych. Liczymy tylko kody z dwóch cyfr różnej parzystości. Tak więc mamy:
\(\displaystyle{ C^1_5\cdot C^1_5\cdot 2^5}\)
Ponieważ wybieramy jedną cyfrę nieparzystą, jedną parzystą i w każdym miejscy możemy ustawić jedną z nich.
Na koniec odejmujemy wszystko od liczby wszystkich kombinacji:
\(\displaystyle{ 10^{5}-2\cdot 5^5 - C^1_5\cdot C^1_5\cdot 2^5}\)
Byłbym wdzięczny za potwierdzenie bądź wskazanie błędu w moim rozumowaniu. Dzięki za pomoc .
Edit----
Niestety nikt się nie podejmuje, więc dla potomności zapiszę swoje rozważania Powyższe rozwiązanie jest PRAWIE dobre - jest jednak jeden szkopuł. Licząc ilość liczb stworzonych z jednej parzystej i jednej nieparzystej, niechcący dopuściłem możliwość powielania rozwiązań. Otóż jeżeli np. weźmiemy do tworzenia kodu jedynkę i czwórkę, to istnieje możliwość, że wstawiając na kolejne miejsca którąś z tych cyfr na dwa możliwe sposoby (bo są dwie cyfry), okaże się że wszędzie wstawiliśmy jedynkę lub wszędzie wstawiliśmy czwórkę! Taka sytuacja jest dla każdej pary liczb, a tych par jest 25, a dla każdej dwa felerne przypadki. Tak więc ilość rozwiązań prawidłowych będzie o 50 większa. Dziękuję za uwagę .