Zależność rekurencyjna i równanie charakterystyczne

[hirons]

Witam serdecznie. Mam do rozwiązania takie zadania i nie wiem kompletnie jak się za nie zabrać.

1. Stosując metodę równania charakterystycznego rozwiąż następującą zależność rekurencyjną:
\(\displaystyle{ a_{n}=6 a_{n-1}-9 a_{n-2}}\) dla \(\displaystyle{ n>1, a_{0}=1}\)

2. Rozwiąż zależność rekurencyjną:
\(\displaystyle{ a_{n}=6 a_{n-1}+1}\) dla \(\displaystyle{ n>0, a_{0}=0}\)

Bardzo proszę o stopniowe rozpisanie. Pozdrawiam

[octahedron]

\(\displaystyle{ q^2-6q+9=0\\
(q-3)^2=0\\
q=3\\
a_n=k_1\cdot 3^n+nk_2\cdot 3^n\\
a_0=3k_1=1\Rightarrow k_1=\frac{1}{3}\\
a_n=3^n\left(\frac{1}{3}+kn\right)}\)
brakuje \(\displaystyle{ a_1}\), by wyznaczyć \(\displaystyle{ k}\)

[hirons]

Czy to jest poprawne rozwiązanie zadania 2?

\(\displaystyle{ { 6 }a_{ n-1 }+1\quad =\quad \\ =\quad 6(6a_{ n-2 })+1\quad =\\ =\quad { 6 }^{ 2 }{ a }_{ n-2 }+6+1\quad =\\ =\quad { 6 }^{ 2 }(6a_{ n-3 }+1)+6+1\quad =\\ =\quad { 6 }^{ 3 }{ a }_{ n-3 }+{ 6 }^{ 2 }+{ 6 }^{ 2 }+1\quad =\\ =\quad \sum _{ i=1 }^{ n }{ { 6 }^{ i }+1 }}\)

brakuje \(\displaystyle{ a_1}\), by wyznaczyć \(\displaystyle{ k}\)

Zdjęcie zadania zostało źle zrobione i niestety przycięło mi te dane...

[octahedron]

Ja mam coś takiego:
\(\displaystyle{ a_{n}=6 a_{n-1}+1\\
a_{n+1}=6 a_{n}+1\\
a_{n+1}-a_{n}=6a_{n}-6a_{n-1}\\
a_{n+1}=7a_{n}-6a_{n-1}\\
q^2-7q+6=0\\
(q-1)(q-6)=0\\
q=1\,\vee\,q=6\\
a_n=k_1\cdot 1^n+k_2\cdot 6^n\\
a_{n+1}-6a_n=k_1+k_2\cdot 6^{n+1}-6k_1-6k_2\cdot 6^n=-5k_1=1\Rightarrow k_1=-\frac{1}{5}\\
a_0=-\frac{1}{5}+k_2=0\Rightarrow k_2=\frac{1}{5}\\
a_n=\frac{6^n-1}{5}}\)

-- 14 mar 2012, o 15:47 --

W twojej metodzie powinno być \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n-1}6^i+1=\sum_{i=0}^{n-1}6^i=\frac{6^n-1}{6-1}=\frac{6^n-1}{5}}\)

[hirons]

\(\displaystyle{ q^2-6q+9=0\\
(q-3)^2=0\\
q=3\\
a_n=k_1\cdot 3^n+nk_2\cdot 3^n\\
a_0=3k_1=1\Rightarrow k_1=\frac{1}{3}\\
a_n=3^n\left(\frac{1}{3}+kn\right)}\)
brakuje \(\displaystyle{ a_1}\), by wyznaczyć \(\displaystyle{ k}\)

\(\displaystyle{ a_{n}=6 a_{n-1}-9 a_{n-2)}\) dla \(\displaystyle{ n>1, a_{0}=1, a_1 = 2}\)

Co następnie z tym zadaniem należy zrobić?

-- 20:45 --

Znalazłem takie coś:
\(\displaystyle{ { a }_{ n }=6{ a }_{ n-1 }-9{ a }_{ n-2 }\quad ,\quad n>1,\quad { a }_{ 0 }=1,\quad { a }_{ 1 }=2\\ \\ { x }^{ 2 }=6x-9\quad \Leftrightarrow \quad { x }^{ 2 }-6x+9=0\\ \Delta =36-36=0\\ x=\frac { 6 }{ 2 } =3\\ { S }_{ n }={ c }_{ 1 }{ r }^{ n }+{ c }_{ 2 }{ nr }^{ n }\\ 1={ c }_{ 1 }3^{ 0 }\Leftrightarrow { c }_{ 1 }=1\\ 2={ c }_{ 1 }{ 3 }^{ 1 }+{ c }_{ 2 }1\ast { 3 }^{ 1 }\\ { 3c }_{ 1 }+{ 3c }_{ 2 }=2\\ { 3c }_{ 2 }=2-{ 3 }c_{ 1 }=-1\\ { c }_{ 2 }=-\frac { 1 }{ 3 } \\ { a }_{ n }={ 3 }^{ n }+(-\frac { 1 }{ 3 } )n{ 3 }^{ n }={ 3 }^{ n }-{ 3 }^{ -1 }\ast n\ast { 3 }^{ n }={ 3 }^{ n }-{ 3 }^{ n-1 }n\\ \\}\)

i do tego tabelka:


Czy to jest poprawne rozwiązanie tego zadania?

[octahedron]

Jak najbardziej poprawne.