brydż i jego gracze

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
mekeyn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 14 sty 2012, o 11:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 2 razy

brydż i jego gracze

Post autor: mekeyn »

Iloma sposobami można rozdać karty do brydża 4 graczom siedzącym na ustalonych miejsach?
odp. \(\displaystyle{ \frac{52!}{ 13!^{4} }}\) Prosze o wytlumaczenie. Dzięki
Awatar użytkownika
ares41
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

brydż i jego gracze

Post autor: ares41 »

permutacje z powtórzeniami.
mekeyn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 14 sty 2012, o 11:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 2 razy

brydż i jego gracze

Post autor: mekeyn »

dla czego? mamy 52 karty rozdajemy je 4 graczom do czasu az skonczy sie talia czyli kazdy z graczy otrzyma 13 kart. Kazda karta jest inna, zadna sie nie powtarza, obojetne jest w jaki sposob, karty beda ulozone w takiej 13...
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

brydż i jego gracze

Post autor: mat_61 »

ares41, wg mnie nie można tego nazwać permutacją z powtórzeniami, bo tutaj dzielimy różnowartościowy, 52-elementowy zbiór na cztery 13-elementowe, rozróżnialne podzbiory, czyli mamy iloczyn kolejnych kombinacji bez powtórzeń (wybieramy 13 kart z 52 dla pierwszego zawodnika, 13 z pozostałych 39 dla drugiego itd.):

\(\displaystyle{ {52 \choose 13} \cdot {39 \choose 13} \cdot {26 \choose 13} \cdot {13 \choose 13} = \frac{52!}{13!^4}}\)
Awatar użytkownika
ares41
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

brydż i jego gracze

Post autor: ares41 »

Mamy \(\displaystyle{ 52}\) miejsc, do których możemy położyć dokładnie po jednej karcie. Zakładamy przy tym, że pierwsze \(\displaystyle{ 13}\) jest zarezerwowane dla kart gracza pierwszego, kolejna trzynastka dla drugiego itd. Nazwijmy te kolejne trzynastki obszarami n-tego gracza.
Oczywiście rozkład kart jest całkowicie przypadkowy. Wszystkich permutacji jest \(\displaystyle{ 52!}\), ale wtedy w obrębie każdego obszaru mogą znaleźć się te same karty, a to nie jest żaden nowy przypadek.
Oczywistym jest, że ilość takich permutacji w obszarze n-tego gracza wynosi \(\displaystyle{ 13!}\), a jako, że graczy jest czterech dostajemy ostateczną ilość możliwości : \(\displaystyle{ \frac{52!}{13! \cdot 13! \cdot13! \cdot13! }=\frac{52!}{ 13!^{4} }}\)
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

brydż i jego gracze

Post autor: mat_61 »

Twój sposób rozwiązania jest dla mnie oczywisty, mam tylko wątpliwości co do użycia dla tego sposobu nazwy permutacje z powtórzeniami, bo nie odpowiada on definicji tego pojęcia i może być niezrozumiały bez dodatkowego wyjaśnienia (co widać chociażby po reakcji mekeyna)

Mój sposób podałem, jako alternatywny i dający się opisać klasycznym wzorem z kombinatoryki.
Awatar użytkownika
ares41
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

brydż i jego gracze

Post autor: ares41 »

Zgadzam się co do tej niejednoznaczności. Tutaj powinienem sprecyzować, że nazwa nie dotyczy standardowego znaczenia permutacji z powtórzeniami, a nieco szersze rozumienie - takiego rozmieszczenia, w którym za równoważne uważamy elementy pewnego podzbioru ( obszaru ).
ODPOWIEDZ