czesc, mam problem z przyswojeniem funkcji tworzacych
niby cos tam wiem ale fajnie by bylo jakby ktos przystepnie i po ludzku odpowiedzial na kilka moich pytan:
1) skad taki pomysl sie wzial i po co sa one potrzebne (oprocz rozwiazywania rownan rekurencyjnych) czy wziely sie po prostu zeby ulatwic sobie pare rzeczy? jesli tak to czemu praca z nimi jest lepsza niz bez nich?
2) nazwa "funkcja" na mnie tak dziala ze od razu chce cos podstawiac pod iks.. ale tutaj czesto nie bardzo ma to sens. jakie informacje moge wyciagnac z funkcji tworzacej np \(\displaystyle{ \frac{1}{x-1}}\)? czy jakies podstawianie pod iks jakichs wartosci da mi cokolwiek, czy inne informacje sie stad wyciaga?
3) kiedy uzywac funkcji tworzacych a kiedy wykladniczych funkcji tworzacych?
4) wezmy sobie ciag \(\displaystyle{ a_n=1}\) wtedy jego funkcja tworzaca to \(\displaystyle{ f(x)= \sum_{n}^{}a_n x^n=\frac{1}{1-x}}\) ale skoro mozemy taka funkcje zrozniczkowac to otrzymamy: \(\displaystyle{ \frac{1}{(1-x)^2}= \sum_{n}^{} (n+1)x^n}\) i nagle otrzymalem magicznie funkcje tworzaca na ciag \(\displaystyle{ a_n=n+1}\).. z tym ze co ja tu tak wlasciwie zrobilem? roznicowanie ciagu to \(\displaystyle{ a_n-a_{n-1}}\) wiec jakim cudem z ciagu \(\displaystyle{ \left\langle 1,1,1,1,1,....\right\rangle}\) otrzymalem nagle ciag \(\displaystyle{ \left\langle 1,2,3,4,5,6,7,...\right\rangle}\)?? jak mozna to wytlumaczyc?
5) jak rozwijac funkcje w szeregi zeby znalexc im odpowiadajace ciagi? rozwiazywalem pewna rekurencje i wyszla mi funkcja tworzaca \(\displaystyle{ \frac{x}{1-2x-x^2}}\) i nie wiem jakie informacje z tego moge wyciagnac i jak to rozwinac w szereg
bardzo bylbym wdzieczny za odpowiedzi bo jak na razie z funkcjami tworzacymi mam wiecej klopotow nic pozytku