Wyznacz rozwiazanie szczegolne, nie korzystajac z metod funkcji tworzacych:
\(\displaystyle{ a_{0}=0 ;
a_{n}=2a_{n-1}+5n}\)
Rozwiazanie szczegolne
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Rozwiazanie szczegolne
Jeśli podzielisz stronami przez \(\displaystyle{ 2^n}\) i zdefiniujesz \(\displaystyle{ b_n=\frac{a_n}{2^n}}\), to otrzymasz:
\(\displaystyle{ \begin{cases} b_0=0 \\ b_n= b_{n-1}+\frac{5n}{2^n}\end{cases}}\)
Jeśli zapiszemy rekurencję jako:
\(\displaystyle{ b_n-b_{n-1}=\frac{5n}{2^n}}\)
i zsumujemy po \(\displaystyle{ n}\) od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ N}\), to dostaniemy:
\(\displaystyle{ b_N= \sum_{n=1}^{N}\frac{5n}{2^n}}\)
czyli wystarczy znaleźć tę sumę.
Ta metoda nosi nazwę metody czynnika sumacyjnego.
Q.
\(\displaystyle{ \begin{cases} b_0=0 \\ b_n= b_{n-1}+\frac{5n}{2^n}\end{cases}}\)
Jeśli zapiszemy rekurencję jako:
\(\displaystyle{ b_n-b_{n-1}=\frac{5n}{2^n}}\)
i zsumujemy po \(\displaystyle{ n}\) od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ N}\), to dostaniemy:
\(\displaystyle{ b_N= \sum_{n=1}^{N}\frac{5n}{2^n}}\)
czyli wystarczy znaleźć tę sumę.
Ta metoda nosi nazwę metody czynnika sumacyjnego.
Q.
-
brzoskwinka1
Rozwiazanie szczegolne
\(\displaystyle{ a_n =10\cdot 2^n -5n-10}\) podstaw \(\displaystyle{ a_n =b_n -5n -10}\)