Problem n małżeństw, dziwne równanie.

[hoot1hooten]

Szanowni Państwo,
mam problem z zadanie, które brzmi:
Ustawiamy w rzędzie n par. W ilu ustawieniach żadna para nie stoi koło siebie. Odpowiedź to:

\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n} (-1)^{i} {n \choose i} \frac{(2n-i)!}{ 2^{n-i} }}\)

Niestety nie mam pojęcia skąd się wzięła, a muszę napisać czemu jest poprawna.
Z góry dziękuję za poświecony czas i pomoc.

[Qń]

Polecenie jest trochę nieprecyzyjne, ale z odpowiedzi wynika jak je doprecyzować: tych \(\displaystyle{ n}\) par ustawiamy w rząd \(\displaystyle{ n}\) dwójek w taki sposób, że kolejność tych dwójek jest istotna, ale kolejność na poziomie konkretnej dwójki (tzn. to kto stoi z lewej, a kto z prawej) nie jest istotna.

Wskazówka: zasada włączeń i wyłączeń. Wyprowadzenie tego wzoru jest bardzo podobne do wyprowadzenia wzoru na liczbę nieporządków.

Q.

[hoot1hooten]

Niestety nie potrafię zdefiniować \(\displaystyle{ A _{i}}\).
Proszę o pomoc.

[Qń]

\(\displaystyle{ A_i}\) to liczba konfiguracji w których \(\displaystyle{ i}\)-a para stoi koło siebie. Szukamy oczywiście:
\(\displaystyle{ \left| A_1' \cap A_2' \cap \ldots \cap A_n'\right|}\)

Q.