Ile jest liczb

[MalaMi717]

Hej!
To mój pierwszy post więc liczę na wyrozumiałość.

Nie mogę poradzić sobie z 2 zadaniami (nie wiem jak się do nich zabrać). Jeżeli ktoś byłby w stanie mi pomóc w jakikolwiek sposób (chociażby udzielając jakiejś wskazówki) dziękuję

1.Ile jest liczb czterocyfrowych, w których powtarzać się mogą dwukrotnie jedynie cyfry 1 i 2?
2.Ile różnych cyfr sześciocyfrowych można utworzyć używając tylko cyfr 1,2,3 i zakładając dodatkowo, że cyfra 1 wykorzystana będzie tylko dwa razy?

[lestkievich]

wskazówka
Wyników postaci \(\displaystyle{ (A,B,C,D)}\)

gdzie \(\displaystyle{ A}\) losujemy z\(\displaystyle{ a}\) elemntów
gdzie \(\displaystyle{ B}\) losujemy z\(\displaystyle{ b}\) elemntów
gdzie \(\displaystyle{ C}\) losujemy z\(\displaystyle{ c}\) elemntów
gdzie \(\displaystyle{ D}\) losujemy z\(\displaystyle{ d}\) elemntów


jest \(\displaystyle{ a\cdot b\cdot c \cdot d}\)

[mat_61]

lestkievich to co napisałeś jest oczywiście prawdą ale w zadaniu mamy trochę inny przypadek i myślę, że ta ogólna wskazówka może być niewystarczająca.

Wskazówka dla MalaMi717:

1) W tym zadaniu mamy powtarzające się elementy. Są to typowe permutacje z powtórzeniami. Możesz o tym poczytać np. tutaj:

2) W tym zadaniu możesz zastanowić się jak mogłabyś "losowo wygenerować" taką liczbę:

a. wiesz, że mają być dwie jedynki więc losujesz dla tych jedynek dwa miejsca z sześciu (kombinacje)

b. pozostałe cztery miejsca zajmują dwójki i trójki. Teraz zerknij niżej na post Errichto

Czy takie wyjaśnienie Ci wystarczy?

[Errichto]

b. pozostałe cztery miejsca zajmują dwójki i trójki. Czyli może być zero dwójek i cztery trójki lub jedna dwójka i trzy trójki itd. (każdy z tych przypadków to także permutacje z powtórzeniami)

Na każdym z pozostałych miejsc może być dwójka lub trójka - 2 możliwości. Zatem 4 miejsca możemy zapełnić na \(\displaystyle{ 2^4}\) sposobów.

[mat_61]

Errichto, oczywiście, że tak.
Dzięki za zwrócenie uwagi (zaraz poprawię swoją wskazówkę, żeby nie robić zamieszania).

[MalaMi717]

Dziękuję za pomoc
Z tego co zrozumiałam rozwiązania zadań powinny wyglądać następująco. Proszę o weryfikację w przypadku gdyby mój tok myślenia był błędny.

1. \(\displaystyle{ P^{2,2}_{9}}\)=\(\displaystyle{ \frac{9!}{2! \cdot 2!}}\)=90720
Mam tu wątpliwość co do liczby 9 ponieważ cyfr jest 10 licząc od zera do 9 (jednak biorąc pod uwagę to, że liczba ma mieć 4 cyfry założyłam, że na pierwszym miejscu nie może stać zero).
2.\(\displaystyle{ C^{2}_{6}}\) * \(\displaystyle{ 2^{4}}\)=240

Użyłam kombinacji z powtórzeniami.

[mat_61]

1) Nie jest dobrze (liczb jest dużo, dużo mniej - możesz je bez problemu wypisać).

Liczba ma być 4-cyfrowa zbudowana z elementów \(\displaystyle{ \left\{ 1;1;2;2\right\}}\). Jest to więc permutacja 4-elementowa z powtórzeniami w której powtarza się dwukrotnie każdy z elementów. Ma więc być \(\displaystyle{ 4!}\) a nie \(\displaystyle{ 9!}\).

2) Tutaj jest OK, ale to \(\displaystyle{ C^{2}_{6}}\) to nie są kombinacje z powtórzeniami (jak napisałaś), tylko kombinacje bez powtórzeń.

[mizera03]

1.
Ja to rozumiem tak "inaczej".
Tworzy liczbę 4 cyfrowa w której nic się nie powtarza, np: 1234, + tworzymy liczbę w której powtarza się cyfra 1 lub 2 dwukrotnie, np: 1123 lub 1223.
I takich liczb już będzie dużo;p

[mat_61]

Rzeczywiście można różnie rozumieć treść tego zadania.

Przy takiej interpretacji, że wybieramy dowolne \(\displaystyle{ 4}\) cyfry z takiego zbioru: \(\displaystyle{ \left\{ 0, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\right\}}\) (czyli możemy mieć liczby: \(\displaystyle{ 7863, 1341, 2186, 2211, 8220,1152}\) itd.) to oczywiście liczb będzie duuuużo więcej.

Wówczas możemy obliczyć to tak:

I. Ilość liczb o różnych cyfrach:

\(\displaystyle{ 9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7=…}\)

II. Ilość liczb zawierających dwie jedynki i dwie cyfry różne i inne niż 1:

a) jedynka jako pierwsza (druga jedynka na jednym z trzech miejsc, dwa pozostałe miejsca: dowolne i różne cyfry bez jedynki):

\(\displaystyle{ 3 \cdot 9 \cdot 8=...}\)

b) jedynka nie pierwsza (na pierwszym miejscu dowolna cyfra z wyjątkiem zera i jedynki, następnie dwie jedynki na dwóch z trzech miejsc: trzy sposoby, na czwartym miejscu dowolna cyfra bez jedynki i wylosowanej na pierwsze miejsce):

\(\displaystyle{ 8 \cdot 3 \cdot 8=...}\)

III. Ilość liczb zawierających dwie dwójki i dwie cyfry różne i inne niż 2: (jak wyżej, czyli wynik z II. można pomnożyć przez 2)

IV. Liczby zawierające dwie jedynki i dwie dwójki (jak w poście powyżej – permutacje z powtórzeniami)