\(\displaystyle{ 1 ^{2} + 2 ^{2}+3 ^{2}...n ^{2} = 2 {n+2 \choose 3} - {n+1 \choose 2}}\)
pierwszy raz robię tego typu zadanie i szczerze nie mam pojęcia jak to wykonać.
uzasadnij algebraicznie równanie.
-
math questions
- Użytkownik
- Posty: 923
- Rejestracja: 23 sie 2009, o 18:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: .....
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 171 razy
uzasadnij algebraicznie równanie.
\(\displaystyle{ 1 ^{2} + 2 ^{2}+3 ^{2}...n ^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\) - patrz tutaj 258562.htm
\(\displaystyle{ 2 {n+2 \choose 3} - {n+1 \choose 2}=2 \cdot \frac{(n+2)!}{(n-1)! \cdot 3!}- \frac{(n+1)!}{(n-1)! \cdot 2!} = 2 \cdot \frac{(n-1)!n(n+1)(n+2)}{(n-1)! \cdot 6}- \frac{(n-1)!n(n+1)}{(n-1)! \cdot 2!}=\frac{n(n+1)(n+2)}{ 3}- \frac{n(n+1)}{2}=\frac{2n(n+1)(n+2)}{ 6}- \frac{3n(n+1)}{6}=\frac{2n(n+1)(n+2)-3n(n+1)}{ 6}= \frac{n(n+1)[2(n+2)-3]}{6}=\frac{n(n+1)[2n+4-3]}{6}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=}\)
\(\displaystyle{ L=P \\ c.n.d.}\)
\(\displaystyle{ 2 {n+2 \choose 3} - {n+1 \choose 2}=2 \cdot \frac{(n+2)!}{(n-1)! \cdot 3!}- \frac{(n+1)!}{(n-1)! \cdot 2!} = 2 \cdot \frac{(n-1)!n(n+1)(n+2)}{(n-1)! \cdot 6}- \frac{(n-1)!n(n+1)}{(n-1)! \cdot 2!}=\frac{n(n+1)(n+2)}{ 3}- \frac{n(n+1)}{2}=\frac{2n(n+1)(n+2)}{ 6}- \frac{3n(n+1)}{6}=\frac{2n(n+1)(n+2)-3n(n+1)}{ 6}= \frac{n(n+1)[2(n+2)-3]}{6}=\frac{n(n+1)[2n+4-3]}{6}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=}\)
\(\displaystyle{ L=P \\ c.n.d.}\)