Symbol Newtona

[Sugre]

Zapisz za pomocą jednego współczynnika newtonowskiego sumy:

a) \(\displaystyle{ {10 \choose 5}+{10 \choose 6}}\)

b) \(\displaystyle{ {17 \choose 4}+{17 \choose 12}}\)

c) \(\displaystyle{ {3 \choose 0}+{4 \choose 1}+{5 \choose 2}+{6 \choose 3}}\)

d) \(\displaystyle{ {7 \choose 0}+{7 \choose 1}+{7 \choose 2}+{7\choose 3}+{7\choose 4}}\)

Proszę o podpowiedź jak to rozwiązać

[ares41]

Przydadzą się wzory:
\(\displaystyle{ {n \choose k}={n \choose n-k}\\ {n \choose k}+{n \choose k+1}={n +1 \choose k+1}}\)

[Sugre]

Wzory mam podane, ale nie rozumie jak to zrobić. Ares rozwiąż mi pierwszy przykład jeśli możesz.

[ares41]

\(\displaystyle{ {10 \choose 5}+{10 \choose 6}={10 \choose 5}+{10 \choose 5+1}={10+1 \choose 5+1}={11 \choose 6}}\)

[Sugre]

Drugie tak ma wyglądać?
\(\displaystyle{ {17 \choose 4}+{17 \choose 12}={17 \choose 4}+{17 \choose 17-12}={17 \choose 4}+{17 \choose 5}={17 \choose 4}+{17 \choose 4+1}={17+1 \choose 4+1}={18 \choose 5}}\)

[ares41]

Nie.
Co Ty tutaj zrobiłeś ?

[Sugre]

Właśnie nie wiem. Edytowałem, ale nie wiem czy to jest dobrze.

[ares41]

Teraz Ok.
Ps. Nie musisz tego tak rozpisywać z tymi jedynkami. Zrobiłem to tylko, żeby Ci pokazać jak należy rozwiązywać tego typu przykłady

[Sugre]

Spoko Szefie, a mógłbyś mi rozwiązać przykład c ? Męczę się i męczę i nie mogę rozwiązać...

[ares41]

Albo liczymy "na piechotę" i mamy :
\(\displaystyle{ {3 \choose 0}+{4 \choose 1}+{5 \choose 2}+{6 \choose 3}={3 \choose 3}+{4 \choose 3}+{5 \choose 3}+{6 \choose 3}={4\choose 4}+{4 \choose 3}+{5 \choose 3}+{6 \choose 3}= \\ ={5 \choose 4}+{5 \choose 3}+{6 \choose 3}=\ldots}\)
albo odpalamy sobie wzorek :
\(\displaystyle{ \sum_{k=p}^{n}\binom{k}{k-p}=\frac{n-p+1}{p+1} \binom{n+1}{n-p+1}}\)

gdzie przyjmujemy \(\displaystyle{ n=6,\ p=3}\) i od razu mamy rozwiązanie.

Ps. Udowodniłem indukcyjnie, więc działa, możesz uwierzyć na słowo