Cyfry w porządku niemalejącym.

humax · Post autor: **humax** » 25 lut 2012, o 10:56

Ile jest \(\displaystyle{ n -}\) cyfrowych liczb naturalnych, w których cyfry występują w porządku niemalejącym ?

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 25 lut 2012, o 12:47

Wskazówka:

Od wszystkich liczb odejmij te w których cyfry są w porządku malejącym (dla każdej możliwości wyboru \(\displaystyle{ n}\) różnych cyfr spośród \(\displaystyle{ 10}\) można utworzyć jedną taką liczbę).

Oczywiście tak jest dla \(\displaystyle{ n \le 10}\).
Dla \(\displaystyle{ n>10}\) każda utworzona liczba musi mieć układ cyfr w porządku niemalejącym

humax · Post autor: **humax** » 26 lut 2012, o 22:12

hmmm ... może zacznijmy od tego, ile jest \(\displaystyle{ n}\) cyfrowych liczb naturalnych ... to wydaje mi się, że to będzie \(\displaystyle{ 9 \cdot 10^{n-1}}\) dobrze ? bo na początku mamy do wyboru jakąś cyfrę różną od \(\displaystyle{ 0}\), a następnie jedną z \(\displaystyle{ 10}\) i tak \(\displaystyle{ n-1}\) razy. No i teraz od tego wyniku muszę odjąć ilość tych liczb w porządku malejącym ... no i nie wymyśliłem nic mądrego :/ da mi ktoś jeszcze jakąś wskazówkę ?

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 27 lut 2012, o 18:01

humax pisze:hmmm ... może zacznijmy od tego, ile jest \(\displaystyle{ n}\) cyfrowych liczb naturalnych ... to wydaje mi się, że to będzie \(\displaystyle{ 9 \cdot 10^{n-1}}\) dobrze ? bo na początku mamy do wyboru jakąś cyfrę różną od \(\displaystyle{ 0}\), a następnie jedną z \(\displaystyle{ 10}\) i tak \(\displaystyle{ n-1}\) razy

Tak

humax pisze:No i teraz od tego wyniku muszę odjąć ilość tych liczb w porządku malejącym ... no i nie wymyśliłem nic mądrego :/ da mi ktoś jeszcze jakąś wskazówkę ?

W porządku malejącym jest tyle liczb ile różnych zestawów n-cyfrowych o różnych cyfrach możesz wybrać spośród 10 cyfr. Zauważ, że jeżeli wybierzesz zestaw n różnych cyfr (kombinacje) to zawsze te cyfry możesz ustawić w malejącym porządku tylko na jeden sposób.