Witam
nie mogę się uporać z tą równością:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}^{2}= {2n \choose n}}\)
Zdaję sobię sprawę, że można to rozwiązać kombinatorycznie bardzo łatwo, ale próbowałem rozwiązaćto rachunkowo. Trochę napisałem, nie wiem czy jestem bliżej czy dalej :
\(\displaystyle{ \left( \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} \right)^{2}=2^{2n}= \sum_{k=0}^{2n} {2n \choose k} \\
\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} ^2+ 2 \cdot \sum_{k=0}^{n-1} \left( {n \choose k} \cdot \sum_{j=k+1}^{n} {n \choose j} \right)= \sum_{k=0}^{n} {2n \choose k}}\)
Prawą stronę równania przekształcam aby wyodrębnić \(\displaystyle{ {2n \choose n}}\):
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {2n \choose n}= {2n \choose n} + 2 \cdot \sum_{k=0}^{n-1} {2n \choose k}}\)
teraz mam równanie:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} ^2+ 2 \cdot \sum_{k=0}^{n-1} \left( {n \choose k} \cdot \sum_{j=k+1}^{n} {n \choose j} \right)= {2n \choose n} + 2 \cdot \sum_{k=0}^{n-1} {2n \choose k}}\)
czyli teraz muszę tylko udowodnić, że:
\(\displaystyle{ 2 \cdot \sum_{k=0}^{n-1} \left( {n \choose k} \cdot \sum_{j=k+1}^{n} {n \choose j} \right)=2 \cdot \sum_{k=0}^{n-1} {2n \choose k}}\)
a tego nie umiem po prostu zbyt bardzo się zapętliłem można od tego miejsca to jakoś udowodnić? Może inną, sprytniejszą drogą? zależy mi na tym, aby zrobićto rachunkowo.
Dziękuje za wszelką pomoc, pozdrawiam
tożsamość symbolu newtona
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
tożsamość symbolu newtona
Proponuję raczej wyjść od:fafner pisze:\(\displaystyle{ \left( \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} \right)^{2}=2^{2n}= \sum_{k=0}^{2n} {2n \choose k}}\)
\(\displaystyle{ \left( \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}x^k \right)^{2}=(1+x)^{2n}= \sum_{k=0}^{2n} {2n \choose k}x^k}\)
i porównać co stoi po obu stronach przy \(\displaystyle{ x^n}\) (mam nadzieję, że sposób wystarczająco "niekombinatoryczny").
Q.
- fafner
- Użytkownik
- Posty: 198
- Rejestracja: 11 sty 2008, o 22:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: rumia
- Podziękował: 25 razy
- Pomógł: 9 razy
tożsamość symbolu newtona
hmm wygląda ciekawie, mam nadzieje, że z tego mi się uda
dowód kombinatoryczny też jest fajny, ale zastanawiam się jak arytmetycznie się to dowodzi dlatego próbuję to ugryźć w ten sposób.
dzięki
dowód kombinatoryczny też jest fajny, ale zastanawiam się jak arytmetycznie się to dowodzi dlatego próbuję to ugryźć w ten sposób.
dzięki