Dwumian Newtona, odcinek 3274.

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
ielanor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 11 lut 2012, o 18:48
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Dwumian Newtona, odcinek 3274.

Post autor: ielanor »

Bardzo proszę o pomoc z poniższym zadaniem:

"Wypisz te wyrazy rozwinięcia dwumianu \(\displaystyle{ \left( \sqrt[3]{4x^{2}} + \sqrt{\frac{8}{x}} \right)^n}\), w którym \(\displaystyle{ x}\) występuje w potędze o wykładniku naturalnym jeżeli \(\displaystyle{ \binom{n}{1}+\binom{n}{2} = 78}\)."
Ostatnio zmieniony 11 lut 2012, o 19:21 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Między tagami [latex], [/latex] umieszczaj CAŁE wyrażenia matematyczne, a nie tylko ich fragmenty. Poprawa wiadomości. Temat umieszczony w złym dziale.
Awatar użytkownika
ares41
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Dwumian Newtona, odcinek 3274.

Post autor: ares41 »

Zacznij od rozwiązania drugiego równania.
ielanor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 11 lut 2012, o 18:48
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Dwumian Newtona, odcinek 3274.

Post autor: ielanor »

Tyle zrobiłam, ale właśnie nie wiem co dalej...
Awatar użytkownika
ares41
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

Dwumian Newtona, odcinek 3274.

Post autor: ares41 »

Zapisz \(\displaystyle{ k}\)-ty wyraz rozwinięcia dla tego przypadku.
lukasz1804
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

Dwumian Newtona, odcinek 3274.

Post autor: lukasz1804 »

Z warunku \(\displaystyle{ \binom{n}{1}+\binom{n}{2} = 78}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ n+\frac{n(n-1)}{2}=78}\), tj. \(\displaystyle{ n=12}\).
Kolejne składniki rozwinięcia dwumianu \(\displaystyle{ \left( \sqrt[3]{4x^{2}} + \sqrt{\frac{8}{x}} \right)^n}\) są postaci \(\displaystyle{ \binom{n}{k}\left(\sqrt[3]{4x^{2}}\right)^k\left(\sqrt{\frac{8}{x}}\right)^{12-k}=\binom{n}{k}\sqrt[3]{4^k}(\sqrt{8})^{12-k}\cdot x^{\frac{2}{3}k}\cdot x^{\frac{k}{2}-6}=\binom{n}{k}\sqrt[3]{4^k}(\sqrt{8})^{12-k}\cdot x^{\frac{7}{6}k-6}}\), gdzie \(\displaystyle{ 0\le k\le 12}\). Aby wykładnik potęgi o podstawie \(\displaystyle{ x}\) był całkowity, \(\displaystyle{ k}\) musi być wielokrotnością \(\displaystyle{ 6}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{7}{6}k-6>0}\). Wyznacz możliwe wartości \(\displaystyle{ k}\) i odpowiadające im współczynniki rozwinięcia.
ielanor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 11 lut 2012, o 18:48
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Dwumian Newtona, odcinek 3274.

Post autor: ielanor »

Dzięki ogromne I przepraszam za to całe bałaganienie, he he, pozdrawiam!
ODPOWIEDZ