Skarpety i szuflady - liczba ustawień

[Glo]

Witam!

Mam problem z pewnym zadaniem, mianowicie nie mam pojęcia w którym miejscu robię błąd. A brzmi ono tak:

Mamy 13 skarpet, wśród których jest jedna para, a reszta jest różna. Ile jest możliwych ustawień, w których żadna z szuflad nie jest pusta i jednocześnie para skarpet nie znajduje się w jednej szufladzie?

Liczę tak. Biorę 12 skarpet, jedną z owej pary zostawiam na razie z boku. Moje 12 skarpet dowolnie permutuję po szufladach, na
\(\displaystyle{ 12!}\)
sposobów. Teraz do każdego z tych ustawień mogę dorzucić ostatnią skarpetę. Mogę to zrobić na 11 sposobów, bo jedna szuflada jest zajęta przez drugą skarpetę z pary. Tak więc wynik będzie postaci:
\(\displaystyle{ 12! \cdot 11}\)
A okazuje się, że to o 7 razy za mało. Gdzie w moim rozumowaniu jest błąd? Będę wdzięczny za pomoc.

Edit---

Ok, błąd jest oczywisty, możemy mieć jeszcze parę skarpet w oddzielnych szufladach oraz dwie różne skarpety w jednej szufladzie. W takim wypadku wybieramy miejsce dla dwóch skarpet z pary:
\(\displaystyle{ C^2_{13}=6 \cdot 13}\)
Teraz trzeba policzyć na ile sposobów można dorzucić do tych ustawień resztę skarpet. Tu znów pojawia się problem, bo można by robić tak, jak poprzednio - spermutować 10 i dorzucać ostatnią, z tym, że uprzednio trzeba by wybrać, którą skarpetkę z tych dziesięciu będziemy dorzucać. I teraz trudność jest w tym, że niektóre układy się zdublują - jeżeli dorzucamy skarpetkę a do skarpetki b, a następnie skarpetkę b do skarpetki a, to jest to identyczne ustawienie. Jak się ich pozbyć?

[mat_61]

Zakładam, że szuflad jest 12.

Wszystkich możliwości rozmieszczenia skarpet dla niepustych szuflad jest (wybieramy dwie dowolne skarpetki, "łączymy" je ze sobą i łącznie z pozostałymi skarpetkami rozmieszczamy dowolnie w szufladach):

\(\displaystyle{ {13 \choose 2} \cdot 12!}\)

Liczymy te warianty w których skarpety z pary są razem (skarpetki stanowiące parę "łączymy" ze sobą i łącznie z pozostałymi skarpetkami rozmieszczamy dowolnie w szufladach):

\(\displaystyle{ 12!}\)

Teraz wystarczy odjąć.-- 11 lut 2012, o 11:47 --Można oczywiście zrobić obliczenia wg Twojego pomysłu, ale:

1) napisałeś tak: Biorę 12 skarpet, jedną z owej pary zostawiam na razie z boku.

Jest pytanie którą skarpetę z owej pary zostawiasz na boku, lewą czy prawą? Są więc dwie możliwości, czyli takich rozmieszczeń gdzie szuflada z dwoma skarpetkami zawiera jedną skarpetkę z pary jest dwa razy więcej niż obliczyłeś, czyli:

\(\displaystyle{ 12! \cdot 22}\)

2) teraz liczymy te warianty gdzie szuflada z dwoma skarpetkami zawiera skarpety spoza pary. Takich skarpet jest 11. Wybieramy dwie z nich i łączymy razem, czyli mamy 12 elementów które rozmieszczamy dowolnie w szufladach. Takich rozmieszczeń jest więc:

\(\displaystyle{ {11 \choose 2} \cdot 12!}\)

3) na koniec wystarczy dodać.