Jak rozwiązać równanie różniczkowe.

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
misuninia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 7 lut 2012, o 11:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

Jak rozwiązać równanie różniczkowe.

Post autor: misuninia »

Rozwiązać równanie różniczkowe.

\(\displaystyle{ a_{n+2} = -a_{n+1} + 6a _{n}; a_{0} =2; a_{1} =-1}\)
szw1710

Jak rozwiązać równanie różniczkowe.

Post autor: szw1710 »

Różnicowe.

Identycznie jak równanie różniczkowe II rzędu. Tyle że bazą przestrzeni rozwiązań równania jednorodnego są ciągi geometryczne o podstawach będących pierwiastkami równania charakterystycznego.

\(\displaystyle{ a_{n+2}+a_{n+1}-6a_n=0}\)

Równanie charakterystyczne

\(\displaystyle{ r^2+r-6=0}\)

Pierwiastki to \(\displaystyle{ -3}\) oraz \(\displaystyle{ 2}\).

Rozwiązanie ogólne

\(\displaystyle{ a_n=c_1\cdot(-3)^n+c_2\cdot 2^n}\)

Stałe \(\displaystyle{ c_1,c_2}\) dobieramy w oparciu o warunki początkowe:

\(\displaystyle{ a_0=2\implies c_1+c_2=2\\ a_1=-1\implies -3c_1+2c_2=-1\\ c_1=c_2=1}\)

Ostatecznie \(\displaystyle{ a_n=(-3)^n+2^n}\)
misuninia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 7 lut 2012, o 11:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

Jak rozwiązać równanie różniczkowe.

Post autor: misuninia »

A jak to będzie wyglądało z moim przykładem?
szw1710

Jak rozwiązać równanie różniczkowe.

Post autor: szw1710 »

Przecież Ci go rozwiązałem.
misuninia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 7 lut 2012, o 11:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

Jak rozwiązać równanie różniczkowe.

Post autor: misuninia »

To ja nie rozumiem
skąd się wzięło równanie charakterystyczne i pierwiastki tak na początek ??
szw1710

Jak rozwiązać równanie różniczkowe.

Post autor: szw1710 »

Bo to się tak robi. Po prostu. Uświęcone wieloletnią tradycją i kiedyś ludzie tę metodę wynaleźli, a ja się nią posłużyłem. Kiedyś to było świetnie opisane w takim czasopiśmie dla nauczycieli "Matematyka", ale co najmniej 25 lat temu. Możesz też przejrzeć moje starsze posty z tego forum, gdzie już raz takie zadanie rozwiązałem. To gdzieś 1.5 roku temu.
abc666

Jak rozwiązać równanie różniczkowe.

Post autor: abc666 »

25578.htm
misuninia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 7 lut 2012, o 11:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

Jak rozwiązać równanie różniczkowe.

Post autor: misuninia »

Chodzi mi o to żeby jakoś to załapać jak to się robi.
Może rozw. jeszcze to one są podobne.

\(\displaystyle{ a_{n+2} =a _{n+1}+2a _{n} ; a _{0} =a _{1} =3}\)
szw1710

Jak rozwiązać równanie różniczkowe.

Post autor: szw1710 »

No to naśladując moje rozwiązanie będziesz w stanie to zrobić. Działaj i przedstaw rachunki.

A tu masz całą teorię: ... ncyjne.pdf
misuninia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 7 lut 2012, o 11:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

Jak rozwiązać równanie różniczkowe.

Post autor: misuninia »

początek będzie tak wyglądał?


\(\displaystyle{ a _{n+2}- a_{n+1} -2a _{n}=0}\)
Równanie charakterystyczne
\(\displaystyle{ r ^{2}-r-2=0}\)
Pierwiastki
\(\displaystyle{ x _{1}=-4}\)
\(\displaystyle{ x _{2}=5}\)
Rozwiązanie ogólne
\(\displaystyle{ a_{n} =c _{1} \cdot (x _{1})^{n}+c _{2} \cdot (x _{2}) ^{n}}\)

dobrze jest do tego miejsca??
szw1710

Jak rozwiązać równanie różniczkowe.

Post autor: szw1710 »

Jeśli właściwie wyznaczysz pierwiastki równania charakterystycznego, to będzie OK. Potem wyznacz \(\displaystyle{ c_1,c_2}\) w oparciu o wartości dwóch początkowych wyrazów.
misuninia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 7 lut 2012, o 11:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

Jak rozwiązać równanie różniczkowe.

Post autor: misuninia »

ale równanie ogólne jest dobrze ??-- 12 lut 2012, o 15:44 --cd...

\(\displaystyle{ a_{n} =c _{1} \cdot (-4)^{n}+c _{2} \cdot (5) ^{n}}\)
\(\displaystyle{ a _{0} = 3 \Rightarrow c _{1} + c _{2} = 3}\)
\(\displaystyle{ a _{1} = 3 \Rightarrow -4c _{1} +5c _{2} = 3}\)

\(\displaystyle{ c ^{1} = 1,3(3)}\)
\(\displaystyle{ c ^{2} = 1,6(6)}\)
coś chyba źle jest :/
abc666

Jak rozwiązać równanie różniczkowe.

Post autor: abc666 »

Źle wyznaczyłaś pierwiastki równania

\(\displaystyle{ r ^{2}-r-2=0}\)
Podstaw sobie to co ci wyszło i zobaczysz, że jest źle.
misuninia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 7 lut 2012, o 11:22
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

Jak rozwiązać równanie różniczkowe.

Post autor: misuninia »

Teraz jest dobrze??

\(\displaystyle{ a _{n+2}- a_{n+1} -2a _{n}=0}\)
Równanie charakterystyczne
\(\displaystyle{ r ^{2}-r-2=0}\)
Pierwiastki
\(\displaystyle{ x _{1}=-1}\)
\(\displaystyle{ x _{2}=2}\)
Rozwiązanie ogólne
\(\displaystyle{ a_{n} =c _{1} \cdot (x _{1})^{n}+c _{2} \cdot (x _{2}) ^{n}}\)

\(\displaystyle{ a_{n} =c _{1} \cdot (-1)^{n}+c _{2} \cdot (2) ^{n}}\)
\(\displaystyle{ a _{0} = 3 \Rightarrow c _{1} + c _{2} = 3}\)
\(\displaystyle{ a _{1} = 3 \Rightarrow -1c _{1} +2c _{2} = 3}\)

\(\displaystyle{ c ^{1} = 1}\)
\(\displaystyle{ c ^{2} = 2}\)

rozw.
\(\displaystyle{ a_{n} = (-1)^{n}+2(2) ^{n}}\)
szw1710

Jak rozwiązać równanie różniczkowe.

Post autor: szw1710 »

No mogłabyś to lepiej napisać: \(\displaystyle{ a_n=(-1)^n+2^{n+1}.}\) W porządku.
ODPOWIEDZ