nom tak \(\displaystyle{ 2^{1} \cdot 2 ^{n} =2 ^{n+1}}\)
Nom troszkę coś tam łapie ciekawe jak będzie z innymi przykładami
A mam takie pytanie może wiesz jak rozwiązać to zadanie
https://www.matematyka.pl/287116.htm-- 17 lut 2012, o 11:14 --Mam jeszcze takie pytanie Rozwiązanie ogólne zawsze będzie wyglądało tak:
Jak rozwiązać równanie różniczkowe.
-
misuninia2
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 17 lut 2012, o 11:18
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: w-wa
Jak rozwiązać równanie różniczkowe.
Mam jeszcze takie pytanie Rozwiązanie ogólne zawsze będzie wyglądało tak:
-
szw1710
Jak rozwiązać równanie różniczkowe.
Nie zawsze. Zależy to od równania charakterystycznego. Otóż mamy rekurencję jednorodną postaci
\(\displaystyle{ ax_{n+2}+bx_{n+1}+cx_n=0}\)
z równaniem charakterystycznym
\(\displaystyle{ ar^2+br+c=0.}\)
o wyróżniku \(\displaystyle{ \Delta=b^2-4ac.}\)
\(\displaystyle{ ax_{n+2}+bx_{n+1}+cx_n=0}\)
z równaniem charakterystycznym
\(\displaystyle{ ar^2+br+c=0.}\)
o wyróżniku \(\displaystyle{ \Delta=b^2-4ac.}\)
- Jeśli \(\displaystyle{ \Delta>0}\) oraz \(\displaystyle{ r_1,r_2}\) są różnymi pierwiastkami rzeczywistymi tego równania, to jest jak piszesz, czyli rozwiązanie ogólne ma postać
\(\displaystyle{ x_n=c_1r_1^n+c_2r_2^n\,.}\) - Jeśli \(\displaystyle{ \Delta=0}\) i \(\displaystyle{ r_0}\) jest rzeczywistym pierwiastkiem dwukrotnym równania charakterystycznego, to rozwiązanie ogólne ma postać
\(\displaystyle{ x_n=c_1r_0^n+c_2\cdot nr_0^n=(c_1+c_2n)r_0^n\,.}\) - Jeśli \(\displaystyle{ \Delta<0}\), to równanie charakterystyczne nie ma pierwiastków rzeczywistych, ale ma dwa wzajemnie sprzężone pierwiastki zespolone \(\displaystyle{ r_{1,2}=\alpha\pm\beta i.}\) Wtedy rozwiązanie ogólne ma postać
W powyższych dwóch przypadkach jest analogia z równaniem różniczkowym liniowym drugiego rzędu o stałych współczynnikach. W przypadku 3. nie mogę się podjąć odpowiedzialnego napisania postaci ogólnej rozwiązania równania rekurencyjnego. Proszę Kolegów o uzupełnienie.
Ostatnio zmieniony 17 lut 2012, o 12:20 przez szw1710, łącznie zmieniany 5 razy.
-
abc666
Jak rozwiązać równanie różniczkowe.
Niekoniecznie. Jeśli masz równanie drugiego rzędu to jeśli dostaniemy dwa różne pierwiastki (niekoniecznie rzeczywiste) to będzie to taka postać, natomiast jeśli dostaniemy pierwiastek dwukrotny to postacią ogólną będzie
\(\displaystyle{ a_{n}=c_1\cdot n \cdot x_{0}^n+c_{2}\cdot x_{0}^n}\)
lub inaczej
\(\displaystyle{ a_{n}=(c_{1}n+c_{2})x_{0}^{n}}\)
Ogólniej jeśli mamy równanie wyższego rzędu to pierwiastek \(\displaystyle{ x}\) \(\displaystyle{ k}\)-krotny wnosi do postaci ogólnej składnik postaci
\(\displaystyle{ W(n)\cdot x^{n}}\)
gdzie \(\displaystyle{ W(n)}\) jest wielomianem stopnia \(\displaystyle{ k-1}\) tj.:
\(\displaystyle{ W(n)=c_{k-1}n^{k-1}+c_{k-2}n^{k-2}+...+c_{0}}\)
\(\displaystyle{ a_{n}=c_1\cdot n \cdot x_{0}^n+c_{2}\cdot x_{0}^n}\)
lub inaczej
\(\displaystyle{ a_{n}=(c_{1}n+c_{2})x_{0}^{n}}\)
Ogólniej jeśli mamy równanie wyższego rzędu to pierwiastek \(\displaystyle{ x}\) \(\displaystyle{ k}\)-krotny wnosi do postaci ogólnej składnik postaci
\(\displaystyle{ W(n)\cdot x^{n}}\)
gdzie \(\displaystyle{ W(n)}\) jest wielomianem stopnia \(\displaystyle{ k-1}\) tj.:
\(\displaystyle{ W(n)=c_{k-1}n^{k-1}+c_{k-2}n^{k-2}+...+c_{0}}\)