\(\displaystyle{ \begin{cases}a_{0}=-4, a_{1}=5 \\ a_{n}=8a_{n-1}-16a_{n-2}+9n+3, n>1 \end{cases}}\)
wogóle nie wiem jak sie do tego zabrac, próbowalem czego takiego ze wzoru \(\displaystyle{ a_{n}= \alpha^{n} /// x^{2}=8x-16+9+3}\) ale nie wiem czy to jest dobrze.
Rozwiąż rekurencję
-
abc666
Rozwiąż rekurencję
Masz równanie niejednorodne. Możesz je rozwiązać np. metodą przewidywań. Najpierw rozwiązujesz r. jednorodne (bez obliczania stałych)
\(\displaystyle{ a_{n}=8a_{n-1}-16a_{n-2}}\)
powiedz ile ci wyszło, albo gdzie się zacinasz, bo bez tego nie pójdziemy dalej.
\(\displaystyle{ a_{n}=8a_{n-1}-16a_{n-2}}\)
powiedz ile ci wyszło, albo gdzie się zacinasz, bo bez tego nie pójdziemy dalej.
Rozwiąż rekurencję
nie wychodzi cos mi, bo wychodzi mi z tego równania \(\displaystyle{ x^{2}=8x-16}\) że jest jedno miejsce zerowe i nie wiem jak podstawic do wzoru
-
abc666
Rozwiąż rekurencję
Jeśli mamy jedno miejsce zerowe \(\displaystyle{ x}\) przy rekurencji drugiego rzędu to rozwiązanie będzie postaci
\(\displaystyle{ Ax^{n}+Bnx^{n}}\)
Ok, już wiemy, że \(\displaystyle{ x=4}\). Teraz przewidujemy, że rozwiązanie szczególne będzie postaci \(\displaystyle{ Cn+D}\) , ponieważ \(\displaystyle{ 4}\) nie jest miejscem zerowym wielomianu \(\displaystyle{ Q(n)=9n+3}\)
Ostatecznie rozwiązanie będzie postaci
\(\displaystyle{ a_{n}=A\cdot 4^{n}+B\cdot n\cdot 4^{n}+Cn+D}\)
Teraz wystarczy tylko wyliczyć stałe \(\displaystyle{ A,B,C\text{ i }D}\)
\(\displaystyle{ Ax^{n}+Bnx^{n}}\)
Ok, już wiemy, że \(\displaystyle{ x=4}\). Teraz przewidujemy, że rozwiązanie szczególne będzie postaci \(\displaystyle{ Cn+D}\) , ponieważ \(\displaystyle{ 4}\) nie jest miejscem zerowym wielomianu \(\displaystyle{ Q(n)=9n+3}\)
Ostatecznie rozwiązanie będzie postaci
\(\displaystyle{ a_{n}=A\cdot 4^{n}+B\cdot n\cdot 4^{n}+Cn+D}\)
Teraz wystarczy tylko wyliczyć stałe \(\displaystyle{ A,B,C\text{ i }D}\)