Rozwiązanie rekurencji metodą anihilatorów

[Max1414]

Witam!

Jaki będzie anihilator takiej funkcji rekurencyjnej:
\(\displaystyle{ S_n=3S_{n-1} + 2^{n-2} - 1}\)

Myślałem, że \(\displaystyle{ (E-3)(E-2)(E-1)}\), ale jak tworzę układ uwzględniając 3 wartości \(\displaystyle{ S_0 = S_1 = S_2 = 0}\) to wychodzą wszystkie współczynniki \(\displaystyle{ 0}\), co nie jest prawdą. No chyba, że nie powinienem uwzględniać tych wartości, bo \(\displaystyle{ S_n}\) jest zdefiniowana dla \(\displaystyle{ n >= 3}\)

[arek1357]

Ja to tak robiłem:

najpierw wziąłem równanie jednorodne:

\(\displaystyle{ a_{n}-3a_{n-1}=0}\)

rozwiązanie jego to:

\(\displaystyle{ a_{n}=3^{n}}\)

przewiduję rozwiązanie:

\(\displaystyle{ S_{n}=(c_{n}+c)a_{n}=(c_{n}+c)3^{n}}\)

\(\displaystyle{ S_{n-1}=(c_{n-1}+c)3^{n-1}}\)

po podstawieniu:

\(\displaystyle{ (c_{n}+c)3^{n}=(c_{n-1}+c)3^{n}+2^{n-2}-1}\)

lub:

\(\displaystyle{ c_{n}3^{n}=3^{n}c_{n-1}+2^{n-2}-1}\)

lub:

\(\displaystyle{ c_{n}=c_{n-1}+ \frac{2^{n-2}-1}{3^{n}}}\)

zsumujesz stronami i otrzymasz:

\(\displaystyle{ c_{n}=c_{1}+ \frac{2-1}{3^{3}} +\frac{2^{2}-1}{3^{4}}+...+ \frac{2^{n-2}-1}{3^{n}}}\)

No i tak dalej...

To tak w skrócie.

[Max1414]

Ale właśnie chodzi o to aby to zrobić przy użyciu metody anihilatorów .

[arek1357]

a nie będzie tak:

\(\displaystyle{ (E-3)S_{n}=2^{n-2}-1}\)

i podstawiać?

przyznam się że ta metoda jest w sumie dla mnie obca nigdy jej nie używałem

[Max1414]

Nie, tak nie będzie . No to jak nie znasz tej metody to nie pomożesz.