Witam!
Borykam się z następującym zadaniem. Muszę udowodnić tożsamość:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} \begin{bmatrix} n\\k\end{bmatrix}=n!}\)
Znam własności, że:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} n\\n\end{bmatrix}=1}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} n\\0\end{bmatrix}=0}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}=1}\)
Jednak nie mam pojęcia, jak to udowodnić. Próbowałem podstawiać za n różne wartości, ale nigdy nie otrzymałem wyniku n!.
Udowodnić tożsamość - Liczba Stirlinga I Rodzaju
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Udowodnić tożsamość - Liczba Stirlinga I Rodzaju
Wprost z definicji. \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} n\\k\end{bmatrix}}\) to liczba permutacji zbioru \(\displaystyle{ n}\)-elementowego o dokładnie \(\displaystyle{ k}\) cyklach. Tak więc sumując permutacje po wszystkich możliwych ilościach cykli otrzymujemy wszystkie \(\displaystyle{ n!}\) permutacji.
Q.
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 20 lis 2007, o 16:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Białystok
Udowodnić tożsamość - Liczba Stirlinga I Rodzaju
A mógłbyś to troszeczkę matematyczniej zapisać ? Mam akurat takiego ćwiczeniowca, który może przyczepić się do pisemnej odpowiedzi ;/
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Udowodnić tożsamość - Liczba Stirlinga I Rodzaju
Jestem przekonany, że jeśli zrozumiesz ideę rozwiązania, to będziesz w stanie samodzielnie odrobić swoją pracę domową. Jestem równie przekonany, że jeśli zrozumiesz ideę tego forum, to będziesz w stanie przyjąć do wiadomości, że to forum to nie miejsce w którym odrabia się za kogoś prace domowe.
Q.
Q.