Udowodnić tożsamość - Liczba Stirlinga I Rodzaju

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
demonek92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 20 lis 2007, o 16:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Białystok

Udowodnić tożsamość - Liczba Stirlinga I Rodzaju

Post autor: demonek92 »

Witam!
Borykam się z następującym zadaniem. Muszę udowodnić tożsamość:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} \begin{bmatrix} n\\k\end{bmatrix}=n!}\)

Znam własności, że:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} n\\n\end{bmatrix}=1}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} n\\0\end{bmatrix}=0}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0\\0\end{bmatrix}=1}\)

Jednak nie mam pojęcia, jak to udowodnić. Próbowałem podstawiać za n różne wartości, ale nigdy nie otrzymałem wyniku n!.
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Udowodnić tożsamość - Liczba Stirlinga I Rodzaju

Post autor: »

Wprost z definicji. \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} n\\k\end{bmatrix}}\) to liczba permutacji zbioru \(\displaystyle{ n}\)-elementowego o dokładnie \(\displaystyle{ k}\) cyklach. Tak więc sumując permutacje po wszystkich możliwych ilościach cykli otrzymujemy wszystkie \(\displaystyle{ n!}\) permutacji.

Q.
demonek92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 20 lis 2007, o 16:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Białystok

Udowodnić tożsamość - Liczba Stirlinga I Rodzaju

Post autor: demonek92 »

A mógłbyś to troszeczkę matematyczniej zapisać ? Mam akurat takiego ćwiczeniowca, który może przyczepić się do pisemnej odpowiedzi ;/
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Udowodnić tożsamość - Liczba Stirlinga I Rodzaju

Post autor: »

Jestem przekonany, że jeśli zrozumiesz ideę rozwiązania, to będziesz w stanie samodzielnie odrobić swoją pracę domową. Jestem równie przekonany, że jeśli zrozumiesz ideę tego forum, to będziesz w stanie przyjąć do wiadomości, że to forum to nie miejsce w którym odrabia się za kogoś prace domowe.

Q.
ODPOWIEDZ