Równanie z symbolem Newtona

[zunexati]

Proszę o pomoc w rozwiazaniu zadania:
\(\displaystyle{ {6 \choose x} =15}\)

[kropka+]

Najprościej będzie policzyć lewą stronę dla \(\displaystyle{ x \in \left\{ 0,1,2,3,4,5,6\right\}}\) i zobaczyć, kiedy wynikiem jest \(\displaystyle{ 15}\). Będą dwa rozwiązania.

[zunexati]

Tak, tą metodą wyszło mi \(\displaystyle{ 4}\), jednak na lekcji wymagane było rozpisanie równaniem. Dochodzę do:
\(\displaystyle{ 48=x!(6-x)!}\)

i nie wiem jak dalej to rozwiązać (nie podstawiając).

[arek1357]

\(\displaystyle{ 48=2*2*2*2*3=1*2*...x*1*2*...(6-x)}\)

policz sobie ile masz dwójek i ile trójek po prawej stronie.

A swoją drogą to dziwne te lekcje skoro nie można rozwiązać równania metodą przewidywań
i zgadywania.

[kropka+]

Ponieważ \(\displaystyle{ {6 \choose x}= {6 \choose 6-x}}\) to można założyć, że \(\displaystyle{ x \le 6-x}\) i wyznaczyć jedno rozwiązanie. Jeżeli wyjdzie \(\displaystyle{ x \neq 3}\) to drugim rozwiązaniem będzie \(\displaystyle{ 6-x}\)
Doszedłeś do tego, że:

\(\displaystyle{ 48=x!(6-x)!}\)

czyli

\(\displaystyle{ 48=1 \cdot 2 \cdot ... \cdot x \cdot 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot x \cdot (x+1) \cdot (x+2) \cdot ... \cdot (6-x)=1 ^{2} \cdot 2 ^{2} \cdot ... \cdot x ^{2} \cdot (x+1) \cdot (x+2) \cdot ... \cdot (6-x)}\)

Z tego wynika, że \(\displaystyle{ 48}\) jest podzielne przez kwadraty kolejnych liczb od \(\displaystyle{ 2 ^{2} \ do \ x ^{2}}\)

Teraz rozkładasz \(\displaystyle{ 48}\) na czynniki pierwsze tak jak wyżej ci napisano i zauważasz, że \(\displaystyle{ 48}\) dzieli się na \(\displaystyle{ x ^{2}=4 \Rightarrow x=2 \vee x=6-2=4}\)