Prosta rekurencja, co z nią nie tak?

[Mabakay]

\(\displaystyle{ a_{0} = 0}\)
\(\displaystyle{ a_{1} = 1}\)
\(\displaystyle{ a_{n} = 6a_{n-1} - 10a_{n-2}}\)

Rownanie charakterystyczne:
\(\displaystyle{ r^{2} - 6r + 10 = 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = -4}\)
\(\displaystyle{ r_{1} = 2i r_{2} = -2i}\)

Podstawiamy:
\(\displaystyle{ a_{n} = A\cdot (-2i)^{n} + B\cdot (2i)^n}\)

Wyliczamy układ równań i dostajemy:
\(\displaystyle{ a_{n} = \frac{(-2i)^{n}}{-4i} + \frac{(2i)^{n}}{4i}}\) i działa dla \(\displaystyle{ a_{0}}\) i \(\displaystyle{ a_{1}}\), ale wyliczmy z rekurencyjnego \(\displaystyle{ a_{2} = 6}\), a teraz ze wzoru na \(\displaystyle{ a_{n}}\), \(\displaystyle{ a_{2} = 0}\)

Co jest nie tak z tą rekurencja? Dla liczb zespolonych liczy sie inaczej, czy jak? ??:

[spajder]

Rownanie charakterystyczne:
\(\displaystyle{ r^{2} - 6r + 10 = 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = -4}\)
\(\displaystyle{ r_{1} = 2i r_{2} = -2i}\)

tu masz błąd. Te \(\displaystyle{ 2i,-2i}\) to pierwiaski delty a nie wielomianu

[Mabakay]

Rownanie charakterystyczne:
\(\displaystyle{ r^{2} - 6r + 10 = 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = -4}\)
\(\displaystyle{ r_{1} = 2i r_{2} = -2i}\)

tu masz błąd. Te \(\displaystyle{ 2i,-2i}\) to pierwiaski delty a nie wielomianu

Ja znowu śpie...dzięki

Jeszcze jedno pytanie. Gdyby byla to rekurencje niejednorodna to czy jest inny sposob niż dodanie kolejnego pierwiastka o wielokrotnosci 1+stopień wielomianu?

\(\displaystyle{ a_{n} = 6a_{n-1} - 10a_{n-2} + 5n + 1}\), w takim przypadku dodaje jeszcze jeden podwójny pierwiastek 1, ale przez to musze wyliczac jeszcze dwie niewiadome, co przy zespolonych dodaje pracy (czasami dużo), a czas kolokwium ograniczony...

[spajder]

w przypadku takiej rekurencji najpier piszesz równanie rekurencji jednorodnej:

\(\displaystyle{ a_n=Ar_1^n+Br_2^n}\)

pierwiaski rownania charakretystycznego wyjdą różne, więc jest ok.

potem dodajesz pewien ciąg - jeśli definicja ma postać:

\(\displaystyle{ a_n=Xa_{n-1}+Ya_{n-2}+w(n)}\)

gdzie \(\displaystyle{ w(n)}\) jest wielomianem stopnia k to do rozwiązania dodajesz wielomian conajwyżej tego samego stopnia. W tym wypadku dostaniesz:

\(\displaystyle{ a_n=A\left(3-i\right)^n+B\left(3+i\right)^n+Cn+D}\)

i wyznaczasz współczynniki

[Mabakay]

No tyle to ja wiem, tylko zauważ w tym przypadku musze wyliczyc sobie jeszcze a2 i a3, żeby wyliczyc zmienną C i D. Myślałem, że jest jakiś szybszy sposób.

No nic, dzięki

[qsiarz]

czyli jak powinno wygladac zadanie calkowice rozwiazane?

[Mabakay]

czyli jak powinno wygladac zadanie calkowice rozwiazane?

Dla rekurencji niejednorodnej? Napierw liczymy jak dla jednorodnej, a potem dodajemy kolejny pierwiastek o wielokrotności 1 + stopień wielomianu, który dodajemy do rekurencji jednorodnej.

Ten niejednorodny dodatek jest postaci: \(\displaystyle{ V_{k}(n)\cdot Z^{n}}\)
V jest tym wielomianem stopnia k, od zmiennej n, a Z jest tym pierwiastkiem który dodajemy.
W przypadku \(\displaystyle{ 5n+2}\) pierwiastkiem była by jedynka (w domyśle: \(\displaystyle{ 5n+2\cdot 1^{n}}\)) i była by ona dwókrotna (wielomian stopnia pierwszego + 1), wieć rozwiązanie było by takie jak przedstawil Spider.