Rekurencja z liczbami zespolonymi
-
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 12 lis 2011, o 09:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łowicz
- Podziękował: 2 razy
Rekurencja z liczbami zespolonymi
Mam takie zadanko
\(\displaystyle{ a_{0}=1 , a_{1}=-2}\)
\(\displaystyle{ a_{n}=-4a_{n-2}}\)
Oczywiście mam rozwiązać jednorodne rekurencje liniowe;)
Tam dalej pojawiają się pierwiastki liczby zespolonej i nie daje sobie z nimi rady.
Prose o pomoc.. jakieś wyjaśnienie czy rozwiazania częsci z tymi liczbami zespolonymi
\(\displaystyle{ a_{0}=1 , a_{1}=-2}\)
\(\displaystyle{ a_{n}=-4a_{n-2}}\)
Oczywiście mam rozwiązać jednorodne rekurencje liniowe;)
Tam dalej pojawiają się pierwiastki liczby zespolonej i nie daje sobie z nimi rady.
Prose o pomoc.. jakieś wyjaśnienie czy rozwiazania częsci z tymi liczbami zespolonymi
Ostatnio zmieniony 14 sty 2012, o 16:49 przez Qń, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: To rekurencja, a nie kongruencja. Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: To rekurencja, a nie kongruencja. Temat umieszczony w złym dziale.
Rekurencja z liczbami zespolonymi
Ale ta rekurencja jest tak prosta, że nie musisz nic takiego robić.
\(\displaystyle{ a_{2n}=(-4)^{n}\\
a_{2n+1}=-2\cdot (-4)^{n}}\)
\(\displaystyle{ a_{2n}=(-4)^{n}\\
a_{2n+1}=-2\cdot (-4)^{n}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 12 lis 2011, o 09:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łowicz
- Podziękował: 2 razy
Rekurencja z liczbami zespolonymi
Tylko teraz jeszcze bym poprosił jakieś wyjaśnienie do tego.. co Ty w ogóle zrobiłeś;)
Rekurencja z liczbami zespolonymi
Jeśli nasz indeks jest parzysty tzn. jest postaci \(\displaystyle{ 2n}\) mamy
\(\displaystyle{ a_{2n}=-4a_{2n-2}=(-4)\cdot (-4)\cdot a_{2n-4}=...=\underbrace{(-4)\cdot (-4)\cdot ...\cdot (-4)}_{n}\cdot a_{0}}\)
Analogicznie dla nieparzystego indeksu.
\(\displaystyle{ a_{2n}=-4a_{2n-2}=(-4)\cdot (-4)\cdot a_{2n-4}=...=\underbrace{(-4)\cdot (-4)\cdot ...\cdot (-4)}_{n}\cdot a_{0}}\)
Analogicznie dla nieparzystego indeksu.
-
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 12 lis 2011, o 09:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łowicz
- Podziękował: 2 razy
Rekurencja z liczbami zespolonymi
Prościej nie wiem jak wytłumaczyć. Mogę trudniej. Rozwiążemy to metodą r. charakterystycznego.
R. ch. ma postać
\(\displaystyle{ x^2=-4}\)
pierwiastki to
\(\displaystyle{ 2i}\) oraz \(\displaystyle{ -2i}\)
więc postać ogólna to
\(\displaystyle{ a_n=A\cdot (2i)^{n}+B(-2i)^{n}= (2i)^{n}(A+(-1)^{n}B)}\)
Wyliczamy stałe \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{0}=1=A+B\\
a_{1}=-2=2i(A-B)
\end{cases}}\)
Co po rozwiązaniu nam daje
\(\displaystyle{ A=\frac{1}{2}\left( 1+i\right) \\
B=\frac{1}{2}\left( 1-i\right)}\)
Czyli
\(\displaystyle{ a_{n}=(2i)^{n}\frac{1}{2}((1+i)+(-1)^{n}(1-i))}\)
Ale jak widać ta postać nie jest zbyt wygodna do obliczeń.
\(\displaystyle{ a_{2n}=(2i)^{2n}\frac{1}{2}((1+i)+(-1)^{2n}(1-i))=(-4)^n\cdot \frac{1}{2}\cdot 2=(-4)^{n}\\
a_{2n+1}=(2i)^{2n+1}\frac{1}{2}((1+i)+(-1)^{2n+1}(1-i))=(-4)^n\cdot 2i\cdot \frac{1}{2}\cdot (2i)=-2\cdot (-4)^{n}}\)
Ostatecznie dostajemy to co można zauważyć od razu czyli
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{2n}=(-4)^{n}\\ a_{2n+1}=-2\cdot (-4)^{n} \end{cases}}\)
R. ch. ma postać
\(\displaystyle{ x^2=-4}\)
pierwiastki to
\(\displaystyle{ 2i}\) oraz \(\displaystyle{ -2i}\)
więc postać ogólna to
\(\displaystyle{ a_n=A\cdot (2i)^{n}+B(-2i)^{n}= (2i)^{n}(A+(-1)^{n}B)}\)
Wyliczamy stałe \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{0}=1=A+B\\
a_{1}=-2=2i(A-B)
\end{cases}}\)
Co po rozwiązaniu nam daje
\(\displaystyle{ A=\frac{1}{2}\left( 1+i\right) \\
B=\frac{1}{2}\left( 1-i\right)}\)
Czyli
\(\displaystyle{ a_{n}=(2i)^{n}\frac{1}{2}((1+i)+(-1)^{n}(1-i))}\)
Ale jak widać ta postać nie jest zbyt wygodna do obliczeń.
\(\displaystyle{ a_{2n}=(2i)^{2n}\frac{1}{2}((1+i)+(-1)^{2n}(1-i))=(-4)^n\cdot \frac{1}{2}\cdot 2=(-4)^{n}\\
a_{2n+1}=(2i)^{2n+1}\frac{1}{2}((1+i)+(-1)^{2n+1}(1-i))=(-4)^n\cdot 2i\cdot \frac{1}{2}\cdot (2i)=-2\cdot (-4)^{n}}\)
Ostatecznie dostajemy to co można zauważyć od razu czyli
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{2n}=(-4)^{n}\\ a_{2n+1}=-2\cdot (-4)^{n} \end{cases}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 12 lis 2011, o 09:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łowicz
- Podziękował: 2 razy
Rekurencja z liczbami zespolonymi
jeszcze tylko dlaczego wziąłeś \(\displaystyle{ a_{2n}}\)? a nie \(\displaystyle{ a_{n}}\) i mam jeszcze podać wzór ogólny dla tego ciągu to jaki on będzie?... że dla
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{2n}=(-4)^{n}\\ a_{2n+1}=-2\cdot (-4)^{n} \end{cases}}\)
tak mam to rozumieć że nie ma jakiegoś ogólnego wzoru tylko jest inny dla parzystych i inny dla nieparzystych?
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{2n}=(-4)^{n}\\ a_{2n+1}=-2\cdot (-4)^{n} \end{cases}}\)
tak mam to rozumieć że nie ma jakiegoś ogólnego wzoru tylko jest inny dla parzystych i inny dla nieparzystych?
Rekurencja z liczbami zespolonymi
Oba wzory to wzory ogólne i oba są równoważne dla tego ciągu. Jeśli chcesz mieć wzór w jednym wyrażeniu to
\(\displaystyle{ a_{n}=(2i)^{n}\frac{1}{2}((1+i)+(-1)^{n}(1-i))}\)
wziąłem \(\displaystyle{ 2n}\) i \(\displaystyle{ 2n+1}\) żeby postać tego wzoru była prostsza. Jest to wyjaśnione w poście wyżej.
\(\displaystyle{ a_{n}=(2i)^{n}\frac{1}{2}((1+i)+(-1)^{n}(1-i))}\)
wziąłem \(\displaystyle{ 2n}\) i \(\displaystyle{ 2n+1}\) żeby postać tego wzoru była prostsza. Jest to wyjaśnione w poście wyżej.