Rekurencja z liczbami zespolonymi

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
MenosGrandes
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 164
Rejestracja: 12 lis 2011, o 09:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łowicz
Podziękował: 2 razy

Rekurencja z liczbami zespolonymi

Post autor: MenosGrandes »

Mam takie zadanko

\(\displaystyle{ a_{0}=1 , a_{1}=-2}\)

\(\displaystyle{ a_{n}=-4a_{n-2}}\)
Oczywiście mam rozwiązać jednorodne rekurencje liniowe;)
Tam dalej pojawiają się pierwiastki liczby zespolonej i nie daje sobie z nimi rady.
Prose o pomoc.. jakieś wyjaśnienie czy rozwiazania częsci z tymi liczbami zespolonymi
Ostatnio zmieniony 14 sty 2012, o 16:49 przez , łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: To rekurencja, a nie kongruencja. Temat umieszczony w złym dziale.
abc666

Rekurencja z liczbami zespolonymi

Post autor: abc666 »

Ale ta rekurencja jest tak prosta, że nie musisz nic takiego robić.

\(\displaystyle{ a_{2n}=(-4)^{n}\\
a_{2n+1}=-2\cdot (-4)^{n}}\)
MenosGrandes
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 164
Rejestracja: 12 lis 2011, o 09:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łowicz
Podziękował: 2 razy

Rekurencja z liczbami zespolonymi

Post autor: MenosGrandes »

Tylko teraz jeszcze bym poprosił jakieś wyjaśnienie do tego.. co Ty w ogóle zrobiłeś;)
abc666

Rekurencja z liczbami zespolonymi

Post autor: abc666 »

Jeśli nasz indeks jest parzysty tzn. jest postaci \(\displaystyle{ 2n}\) mamy

\(\displaystyle{ a_{2n}=-4a_{2n-2}=(-4)\cdot (-4)\cdot a_{2n-4}=...=\underbrace{(-4)\cdot (-4)\cdot ...\cdot (-4)}_{n}\cdot a_{0}}\)
Analogicznie dla nieparzystego indeksu.
MenosGrandes
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 164
Rejestracja: 12 lis 2011, o 09:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łowicz
Podziękował: 2 razy

Rekurencja z liczbami zespolonymi

Post autor: MenosGrandes »

Przepraszam.. ale nadal nie rozumiem..
abc666

Rekurencja z liczbami zespolonymi

Post autor: abc666 »

Prościej nie wiem jak wytłumaczyć. Mogę trudniej. Rozwiążemy to metodą r. charakterystycznego.

R. ch. ma postać

\(\displaystyle{ x^2=-4}\)
pierwiastki to
\(\displaystyle{ 2i}\) oraz \(\displaystyle{ -2i}\)
więc postać ogólna to
\(\displaystyle{ a_n=A\cdot (2i)^{n}+B(-2i)^{n}= (2i)^{n}(A+(-1)^{n}B)}\)
Wyliczamy stałe \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{0}=1=A+B\\
a_{1}=-2=2i(A-B)
\end{cases}}\)

Co po rozwiązaniu nam daje
\(\displaystyle{ A=\frac{1}{2}\left( 1+i\right) \\
B=\frac{1}{2}\left( 1-i\right)}\)


Czyli
\(\displaystyle{ a_{n}=(2i)^{n}\frac{1}{2}((1+i)+(-1)^{n}(1-i))}\)

Ale jak widać ta postać nie jest zbyt wygodna do obliczeń.
\(\displaystyle{ a_{2n}=(2i)^{2n}\frac{1}{2}((1+i)+(-1)^{2n}(1-i))=(-4)^n\cdot \frac{1}{2}\cdot 2=(-4)^{n}\\
a_{2n+1}=(2i)^{2n+1}\frac{1}{2}((1+i)+(-1)^{2n+1}(1-i))=(-4)^n\cdot 2i\cdot \frac{1}{2}\cdot (2i)=-2\cdot (-4)^{n}}\)


Ostatecznie dostajemy to co można zauważyć od razu czyli
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{2n}=(-4)^{n}\\ a_{2n+1}=-2\cdot (-4)^{n} \end{cases}}\)
MenosGrandes
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 164
Rejestracja: 12 lis 2011, o 09:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łowicz
Podziękował: 2 razy

Rekurencja z liczbami zespolonymi

Post autor: MenosGrandes »

jeszcze tylko dlaczego wziąłeś \(\displaystyle{ a_{2n}}\)? a nie \(\displaystyle{ a_{n}}\) i mam jeszcze podać wzór ogólny dla tego ciągu to jaki on będzie?... że dla
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{2n}=(-4)^{n}\\ a_{2n+1}=-2\cdot (-4)^{n} \end{cases}}\)

tak mam to rozumieć że nie ma jakiegoś ogólnego wzoru tylko jest inny dla parzystych i inny dla nieparzystych?
abc666

Rekurencja z liczbami zespolonymi

Post autor: abc666 »

Oba wzory to wzory ogólne i oba są równoważne dla tego ciągu. Jeśli chcesz mieć wzór w jednym wyrażeniu to

\(\displaystyle{ a_{n}=(2i)^{n}\frac{1}{2}((1+i)+(-1)^{n}(1-i))}\)

wziąłem \(\displaystyle{ 2n}\) i \(\displaystyle{ 2n+1}\) żeby postać tego wzoru była prostsza. Jest to wyjaśnione w poście wyżej.
ODPOWIEDZ