Ilość rozwiązań równania

[Quester]

Witam, mam problem z jednym typem zadania z kombinatoryki. Przykładowo:
Znajdź ilość nieujemnych całkowitoliczbowych rozwiązań równania \(\displaystyle{ x _{1} + x _{2} + x _{3} + x _{4} = 49}\), gdzie \(\displaystyle{ x_{1}, x _{2} \ge 5; 5 \le x _{3} \le 10; x _{4} \le 15}\)

Generalnie, chodzi mi o metode rozwiązywania zadań, gdzie mamy sprawdzić ilość całkowitych nieujemnych rozwiązań równania, gdzie kilka x sumuje sie do jakiejś liczby i niektóre są ograniczone od dołu, a niektóre od góry. Miło by było, gdyby to sie dało rozwiązać bez podstawień.

[Qń]

Ilość rozwiązań tego równania jest równa współczynnikowi przy \(\displaystyle{ x^{49}}\) w wyrażeniu:
\(\displaystyle{ (x^5+x^6+\ldots )(x^5+x^6+\ldots )(x^5+x^6+\ldots +x^{10})(1+x+\ldots x^{15})}\)
Teraz należy to wyrażenie zwinąć, wyłączyć przed nawias co się da, a następnie znów rozwinąć. Tego typu (i trudniejsze) przykłady można znaleźć np. w Matematyce konkretnej, względnie w skrypcie Chlebusa.

Q.

[Quester]

Miałem napisać, że rozwiązanie musi być bez funkcji tworzących, ale stwierdziłem, że i tak nikt mi takiego nie napisze Mea culpa.

W takim razie, chciałbym takie rozwiązanie, które otrzymywane jest wyłącznie za pomocą podstawowych metod zliczania, tzn. kombinacji bez powtórzeń, z powtórzeniami, wariacji czy też permutacji. Nie musi koniecznie być bez podstawiania. Mniej więcej wiem jak się obyć z ograniczeniem dolnym, chodzi mi głównie o problem ograniczenia górnego. Byłbym wdzięczny.

[abc666]

Ograniczenie od dołu likwidujemy łatwo robiąc podstawienie
\(\displaystyle{ y_1=x_1+5\\
y_2=x_2+5\\
y_3=x_3+5\\
y_4=x_4}\)
Dostajemy
\(\displaystyle{ y_1+y_2+y_3+y_4=34}\)
gdzie wszystkie \(\displaystyle{ y_i}\) są nieujemne oraz
\(\displaystyle{ y_3,y_4 \le 15}\)
Teraz trzeba policzyć ile jest wszystkich i odjąć, te które nie pasują, pamiętając o dublujących się elementach (zasada włączeń i wyłączeń).