Równanie rekurencyjne - metoda podstawiania

[Silent7]

Mam do rozwiązania dwa równania rekurencyjne metodą podstawiania, wiem że trzeba sprowadzić wzór do sumy postępu geometrycznego/arytmetycznego. Jak to zrobić?

\(\displaystyle{ a_{n}=6a_{n-1} + 1 ;}\) dla \(\displaystyle{ a_{0} = 1}\) oraz druga nierówność dla takiego samego równania dla \(\displaystyle{ a_{0} = 3}\)

Tak to zacząłem:

\(\displaystyle{ a_{n}=6(6a_{n-2}+1)+1= 6^{2}_{n-2} +6 +1=6^2(6_{n-3}+1)+6+1=6^{3}a_{n-3}+6^{2}+6^{1}+6^{0}}\)

[Qń]

Widać z Twoich rachunków, że po rozwinięciu do końca będzie:
\(\displaystyle{ a_n=6^n\cdot a_0 + 6^{n-1}+ \ldots +6^2+6+1}\)
skąd łatwo wyznaczyć wzór zwarty.

Q.

[Silent7]

A mógłbym poprosić o instrukcję jak się taki wzór wyznacza?

[Qń]

Nie znasz wzoru na sumę ciągu geometrycznego?

Q.

[Silent7]

\(\displaystyle{ S_{n}= \frac{1- 6^{n} }{1-6} \cdot 1}\) tak? a dalej?

[Jan Kraszewski]

Niezupełnie tak. Ile wyrazów ma suma

\(\displaystyle{ 6^n + 6^{n-1}+ \ldots +6^2+6+1\ ?}\)

JK

[Silent7]

Suma ma n wyrazów... a w tym przypadku chyba nie mozemy tego określić?
ale z wzoru rekurencyjnego wiadomo że \(\displaystyle{ a_{1} = 7}\)

[Jan Kraszewski]

Suma ma \(\displaystyle{ n}\) wyrazów...

Nieprawda, policz jeszcze raz.

JK

[Silent7]

nie chcę zgadywać w tym przypadku suma ma 6 wyrazów? jeśli przyjąć że wyraz to składnik

[Jan Kraszewski]

No skąd. Przecież to musi zależeć od \(\displaystyle{ n}\). Policz jeszcze raz:

\(\displaystyle{ 6^n + 6^{n-1}+ \ldots +6^2+6+1=6^0+6^1+6^2+\ldots +6^{n-1}+6^n.}\)

JK

[Silent7]

patrzę i jakoś tego nie widzę

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ 0,1,2,3,4,...,n}\)

Ile powyżej jest liczb?

JK

[Silent7]

\(\displaystyle{ 0,1,2,3,4,...,n}\)

aah więc tu jest \(\displaystyle{ n + 1}\) liczb czy tak?

[lukasz1804]

Tak, tych liczb jest dokładnie \(\displaystyle{ n+1}\).