rozw. szczególne równania niejednorodnego
-
- Użytkownik
- Posty: 350
- Rejestracja: 7 lis 2011, o 20:48
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 83 razy
- Pomógł: 15 razy
rozw. szczególne równania niejednorodnego
Tak jak w temacie, jak rozwiązać takie równanie ?
\(\displaystyle{ a_{n}= 4a_{n-1}+4a_{n-2}+4^n}\)
rozumiem, że
\(\displaystyle{ f(n)= 4^n}\)
metodą przewidywań znajduje rozwiązanie równania szczególnego
\(\displaystyle{ a_{n}^s= AB^n}\)
i co dalej powinienem zrobić ?
\(\displaystyle{ a_{n}= 4a_{n-1}+4a_{n-2}+4^n}\)
rozumiem, że
\(\displaystyle{ f(n)= 4^n}\)
metodą przewidywań znajduje rozwiązanie równania szczególnego
\(\displaystyle{ a_{n}^s= AB^n}\)
i co dalej powinienem zrobić ?
rozw. szczególne równania niejednorodnego
Nie możesz od razu przewidywać rozwiązania szczególnego bo może ono zależeć od pierwiastków równania charakterystycznego równania ogólnego. Musisz najpierw znaleźć rozwiązanie równania ogólnego.
-
- Użytkownik
- Posty: 350
- Rejestracja: 7 lis 2011, o 20:48
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 83 razy
- Pomógł: 15 razy
rozw. szczególne równania niejednorodnego
Powinienem od razu wszystko napisać, no wiec od początku
\(\displaystyle{ a_{0}=5}\)
\(\displaystyle{ a_{1}=16}\)
\(\displaystyle{ a_{n}= 4a_{n-1}+4a_{n-2}+4n ,}\)
1.Szukam rozw. ogólnego równania jednorodnego
\(\displaystyle{ a_{n}= 4a_{n-1}+4a_{n-2}}\)
\(\displaystyle{ a_{n}= S^n}\)
\(\displaystyle{ S^n= 4s^{n-1} + 4s^{n-2} //: s^{n-2}}\)
\(\displaystyle{ s^2= 4s+4}\)
\(\displaystyle{ s^2-4s-4= 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta= 0}\)
\(\displaystyle{ s_{o}= 2}\)
\(\displaystyle{ a_{n}^o= (A+Bn)2^n}\)
no i teraz właśnie nie wiem jak znaleźć rozw. szczególne rónania niejednorodnego.
proszę o pomoc
\(\displaystyle{ a_{0}=5}\)
\(\displaystyle{ a_{1}=16}\)
\(\displaystyle{ a_{n}= 4a_{n-1}+4a_{n-2}+4n ,}\)
1.Szukam rozw. ogólnego równania jednorodnego
\(\displaystyle{ a_{n}= 4a_{n-1}+4a_{n-2}}\)
\(\displaystyle{ a_{n}= S^n}\)
\(\displaystyle{ S^n= 4s^{n-1} + 4s^{n-2} //: s^{n-2}}\)
\(\displaystyle{ s^2= 4s+4}\)
\(\displaystyle{ s^2-4s-4= 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta= 0}\)
\(\displaystyle{ s_{o}= 2}\)
\(\displaystyle{ a_{n}^o= (A+Bn)2^n}\)
no i teraz właśnie nie wiem jak znaleźć rozw. szczególne rónania niejednorodnego.
proszę o pomoc
Ostatnio zmieniony 27 gru 2011, o 17:47 przez manduka, łącznie zmieniany 1 raz.
rozw. szczególne równania niejednorodnego
Niestety ale tu nie wychodzi tak ładnie i delta nie wynosi zero.
rozw. szczególne równania niejednorodnego
\(\displaystyle{ s^2-4s-4=0\\
\Delta=(-4)^2-4\cdot 1\cdot (-4)=16+16=32}\)
\Delta=(-4)^2-4\cdot 1\cdot (-4)=16+16=32}\)
rozw. szczególne równania niejednorodnego
Hmm, a która wersja równania jest teraz poprawna? \(\displaystyle{ 4^{n}}\) czy \(\displaystyle{ 4n}\) ? Zakładam, że ta pierwsza.
Po obliczeniu wychodzą nam jakieś tam pierwiastki i są one różne od \(\displaystyle{ 4}\) więc rozwiązanie szczególne jest postaci \(\displaystyle{ A\cdot 4^{n}}\)
Dostajemy
\(\displaystyle{ a_{n}=A\cdot 4^{n}+Bx_1^n+Cx_2^n}\)
Teraz jeszcze ze wzoru rekurencyjnego obliczamy \(\displaystyle{ a_{3}}\) i układamy 3 równania aby obliczyć te stałe. Piękne one nie wychodzą. Tutaj finalny wzór jeśli chciałbyś sprawdzić sobie
Możliwe, że da się go uprościć, ale nawet nie chce mi się nad tym zastanawiać bo nie o to tutaj chodzi.
Po obliczeniu wychodzą nam jakieś tam pierwiastki i są one różne od \(\displaystyle{ 4}\) więc rozwiązanie szczególne jest postaci \(\displaystyle{ A\cdot 4^{n}}\)
Dostajemy
\(\displaystyle{ a_{n}=A\cdot 4^{n}+Bx_1^n+Cx_2^n}\)
Teraz jeszcze ze wzoru rekurencyjnego obliczamy \(\displaystyle{ a_{3}}\) i układamy 3 równania aby obliczyć te stałe. Piękne one nie wychodzą. Tutaj finalny wzór jeśli chciałbyś sprawdzić sobie
Ukryta treść:
rozw. szczególne równania niejednorodnego
Mógłby ktoś napisać jak dokładnie znaleźć rozwiązanie szczególnie rekurencji niejednorodnej?
rozw. szczególne równania niejednorodnego
W takim razie nie rozumiem skąd się wzięło tutaj B i C
skoro mamy tylko \(\displaystyle{ A\cdot 4^{n}}\)abc666 pisze: Dostajemy
\(\displaystyle{ a_{n}=A\cdot 4^{n}+Bx_1^n+Cx_2^n}\)
Teraz jeszcze ze wzoru rekurencyjnego obliczamy \(\displaystyle{ a_{3}}\) i układamy 3 równania aby obliczyć te stałe.
rozw. szczególne równania niejednorodnego
Bo rozwiązanie jest postaci rozwiązanie szczególne + rozwiązanie ogólne
\(\displaystyle{ a_{n}=\underbrace{A\cdot 4^{n}}_{r.sz.}+\underbrace{Bx_1^n+Cx_2^n}_{r.o.}}\)
\(\displaystyle{ a_{n}=\underbrace{A\cdot 4^{n}}_{r.sz.}+\underbrace{Bx_1^n+Cx_2^n}_{r.o.}}\)