rozw. szczególne równania niejednorodnego

[manduka]

Tak jak w temacie, jak rozwiązać takie równanie ?
\(\displaystyle{ a_{n}= 4a_{n-1}+4a_{n-2}+4^n}\)

rozumiem, że
\(\displaystyle{ f(n)= 4^n}\)
metodą przewidywań znajduje rozwiązanie równania szczególnego
\(\displaystyle{ a_{n}^s= AB^n}\)

i co dalej powinienem zrobić ?

[abc666]

Nie możesz od razu przewidywać rozwiązania szczególnego bo może ono zależeć od pierwiastków równania charakterystycznego równania ogólnego. Musisz najpierw znaleźć rozwiązanie równania ogólnego.

[manduka]

Powinienem od razu wszystko napisać, no wiec od początku

\(\displaystyle{ a_{0}=5}\)
\(\displaystyle{ a_{1}=16}\)

\(\displaystyle{ a_{n}= 4a_{n-1}+4a_{n-2}+4n ,}\)

1.Szukam rozw. ogólnego równania jednorodnego
\(\displaystyle{ a_{n}= 4a_{n-1}+4a_{n-2}}\)

\(\displaystyle{ a_{n}= S^n}\)

\(\displaystyle{ S^n= 4s^{n-1} + 4s^{n-2} //: s^{n-2}}\)

\(\displaystyle{ s^2= 4s+4}\)

\(\displaystyle{ s^2-4s-4= 0}\)

\(\displaystyle{ \Delta= 0}\)

\(\displaystyle{ s_{o}= 2}\)

\(\displaystyle{ a_{n}^o= (A+Bn)2^n}\)

no i teraz właśnie nie wiem jak znaleźć rozw. szczególne rónania niejednorodnego.
proszę o pomoc

[abc666]

Niestety ale tu nie wychodzi tak ładnie i delta nie wynosi zero.

[manduka]

wychodzi, po prostu źle zapisałem, spójrz jeszcze raz

[abc666]

\(\displaystyle{ s^2-4s-4=0\\
\Delta=(-4)^2-4\cdot 1\cdot (-4)=16+16=32}\)

[manduka]

racja, mój błąd,
ale pytanie się nie zmienia, jak wyznaczyc rozw. szczególne równania niejednorodnego ?

[abc666]

Hmm, a która wersja równania jest teraz poprawna? \(\displaystyle{ 4^{n}}\) czy \(\displaystyle{ 4n}\) ? Zakładam, że ta pierwsza.
Po obliczeniu wychodzą nam jakieś tam pierwiastki i są one różne od \(\displaystyle{ 4}\) więc rozwiązanie szczególne jest postaci \(\displaystyle{ A\cdot 4^{n}}\)

Dostajemy
\(\displaystyle{ a_{n}=A\cdot 4^{n}+Bx_1^n+Cx_2^n}\)
Teraz jeszcze ze wzoru rekurencyjnego obliczamy \(\displaystyle{ a_{3}}\) i układamy 3 równania aby obliczyć te stałe. Piękne one nie wychodzą. Tutaj finalny wzór jeśli chciałbyś sprawdzić sobie

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ a_{n}=4^{n}\cdot \left( 5-\frac{9\sqrt{2}-7}{2\sqrt{2}}-\frac{11\sqrt{2}-4}{4(\sqrt{2}-1)}\right)+\frac{9\sqrt{2}-7}{2\sqrt{2}}\cdot \left( 2-2\sqrt{2}\right)^{n}+\frac{11\sqrt{2}-4}{4(\sqrt{2}-1)}\cdot \left( 2+2\sqrt{2}\right)^{n}}\)

Możliwe, że da się go uprościć, ale nawet nie chce mi się nad tym zastanawiać bo nie o to tutaj chodzi.

[manduka]

dziękuje

[niks]

Mógłby ktoś napisać jak dokładnie znaleźć rozwiązanie szczególnie rekurencji niejednorodnej?

[abc666]

169728.htm#p632221

[niks]

W takim razie nie rozumiem skąd się wzięło tutaj B i C

Dostajemy
\(\displaystyle{ a_{n}=A\cdot 4^{n}+Bx_1^n+Cx_2^n}\)
Teraz jeszcze ze wzoru rekurencyjnego obliczamy \(\displaystyle{ a_{3}}\) i układamy 3 równania aby obliczyć te stałe.

skoro mamy tylko \(\displaystyle{ A\cdot 4^{n}}\)

[abc666]

Bo rozwiązanie jest postaci rozwiązanie szczególne + rozwiązanie ogólne

\(\displaystyle{ a_{n}=\underbrace{A\cdot 4^{n}}_{r.sz.}+\underbrace{Bx_1^n+Cx_2^n}_{r.o.}}\)