Tworzenie wyrazów / skarpety do szuflad / ruch w układzie

[moriquendi]

Mam kilka zadań, w których wychodzą mi inne wyniki niż w odpowiedzi.

1. Ile można utworzyć "wyrazów" ośmioliterowych mających w sobie 3 litery A i pozostałe litery różne? Przyjmij, że alfabet składa się z 24 liter.

Wychodzi mi tutaj bardzo duża liczba, nie zgadzająca się z odpowiedzią.
3 litery wyrazu to "A". Czwartą literę można wybrać na 23 sposoby, piąta na 22, szóstą 21, siódmą 20, ósmą 19. Razem 23 cdot 22 cdot 21 cdot 20 cdot 19 sposobów. Jeszcze liczba sposobów pomieszania liter A w tym wyrazie \(\displaystyle{ C \frac{3}{8} = 56}\).
Razem 23 cdot 22 cdot 21 cdot 20 cdot 19 cdot 56.

2. Ile jest takich rozmieszczeń 10 par skarpet w 3 szufladach, by w pierwszej i drugiej szufladzie było po jednej parze skarpet?

Do pierwszej szuflady wybieramy jedną skarpetę na \(\displaystyle{ C \frac{1}{10}}\) sposobów. Do drugiej na \(\displaystyle{ C \frac{1}{9}}\)
9 cdot 10 = 90.
Dobrze?

3. W układzie współrzędnych poruszamy się od punktu (0,0) do puntku (10,4) według zasady: z punktu (x,y) można przejść do punktu (x+1, y+1) lub (x+1, y-1). Ile jest różnych możliwych dróg?

Nie mam pojęcia jak to ruszyć.

4. W worku jest 5 kul białych, 5 czarnych i 5 zielonych. Ile różnych (odróżnialnych) podzbiorów można utworzyć z tych kul?

Nie wiem czy rozumiem polecenia. Mam obliczyć ile jest 15,14,13,12....3,2,1 elementowych podzbiorów ze zbioru 15 kul?

5. Dziesięć panien wybiera zdjęcie dziesięciu chłopców (każda po jednym). Na ile sposobów mogą dokonać wyboru tak, aby
a) dokładnie dwie panny wybrały zdjęcie tego samego chłopca
b)dwie panny wybrały jednego chłopca, trzy panny wybrały innego chłopca, a pozostałe panny wybrały różnych chłopców?


a) Wybieramy dwie panie na \(\displaystyle{ C \frac{2}{10}}\) sposobów i jedno zdjęcie na \(\displaystyle{ C \frac{1}{10}}\). Pozostałe panie wybierają 8 zdjęć z 9 na \(\displaystyle{ 9!}\) sposobów.
Razem: \(\displaystyle{ C \frac{2}{10} \cdot C \frac{1}{10} \cdot 9!}\)

b) Wybieramy dwie panie na \(\displaystyle{ C \frac{2}{10}}\) sposobów i jedno zdjęcie dla nich na \(\displaystyle{ \frac{1}{10}}\). Trzy panie na \(\displaystyle{ C \frac{3}{8}}\) i jedno zdjęcie na \(\displaystyle{ C \frac{1}{9}}\).
Pozostałe panie mogą wybrać sobie zdjęcia na 8 cdot 7 cdot 6 cdot 5 sposobów.
Razem: \(\displaystyle{ C \frac{2}{10} \cdot C \frac{1}{10} \cdot C \frac{3}{8} \cdot C \frac{1}{9} \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}\)

[arek1357]

według mnie w (1) z 23 liter wybierasz 5 liter bo 3 litery A już masz i mnożysz kombinacje z permutacjami z powtórzeniami

\(\displaystyle{ {23\choose 5} \frac{8!}{3! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!}}\)

-- 24 grudnia 2011, 14:13 --

ze skarpetami to według mnie masz że z 10 par wybierasz 2 na sposobów 10 po 2 i umieszczasz w 1 i drugiej szyfladzie a pozostałe 8 rozmieszczasz na chybił traf w 3 szufladach,
masz tu szuflady rozróżnialne a skarpety nie więc korzystasz ze wzoru :

\(\displaystyle{ {n+k-1\choose k}}\)

n szuflady, k skarpety, k=8

\(\displaystyle{ {10\choose 2} \cdot {10\choose 8}}\)

-- 24 grudnia 2011, 14:26 --

Zadanie 4 sprowadza się do rozpatrywania ilości rozwiązań równania:

a+b+c=k,

gdzie a,b,c to kule (ilości) białe zielone i czarne a k to ilość wszystkich kul, 0<=k<=15

powinno być:

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{15}{k+2\choose k}}\)

-- 24 grudnia 2011, 21:45 --

a z tym zadaniem w układzie współrzędnych narysuj sobie wszystkie te drogi,
i zobaczysz że tworzą one fajną siatkę.
jeśli nieznacznie poprzesuwasz oczka siatki to otrzymasz kwadrat 3X3 kwadrat ABCD,
i teraz kwestia to znalezienie wszystko dróg(góra i w prawo) od punktu A do punktu C

a jest ich tyle co rozwiązań równania:

\(\displaystyle{ x+y+z=3}\)

We wszystkich tych zadaniach widzę problem się sprowadza do k elementowych kombinacji z powtórzeniami ze zbioru n elementowego-- 26 grudnia 2011, 02:35 --Powiem więcej zadanie 3 to zadanie które ma bardzo duże walory dydaktyczne, jest bardzo zgrabne
i dawno czegoś takiego nie widziałem. Według mnie to majstersztyk pokazujący piękno matematyki!

Pierwsze i drugie zadanie to zwykły standard podręcznikowy.

Czwarte nie jest najgorsze.

Natomiast w ostatnim treść można rozumieć na kilka sposobów