Potrzebuję znaleźć ciąg dla funkcji tworzącej, mającej postać \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{(1-x) ^{n} }}\)
Staram się to robić w ten sposób:
Wychodzę od takiego równania:
\(\displaystyle{ \sum_{n \ge 0}^{} x^{n} = \frac{1}{1-x}}\)
Odpowiednio różniczkując i wymnażając, dochodzę do czegoś takiego:
\(\displaystyle{ \sum_{n \ge 0}^{} \frac{1}{(k-1)! } n(n-1)...(n-k+2)x ^{n-k} = \frac{1}{(1-x)^{k}}}\)
Teoretycznie po prawej stronie mamy to, co powinniśmy otrzymać. Czy to, co mamy po lewej stronie, to ciąg dla \(\displaystyle{ a_{n-k}}\) ?
Proszę o jakieś wskazówki co z tym zrobić.
Funkcja tworząca
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Funkcja tworząca
\(\displaystyle{ (1-x)^{-n}= \sum_{k=0}^{ \infty } \frac{(-n)_{k}}{k!}(-x)^{k}}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ (-n)_{k}=(-1)^{k}n(n+1)...(n+k-1)}\)
zatem:
\(\displaystyle{ f(x)= \sum_{k=0}^{ \infty } \frac{(n+k-1)!}{(n-1)!k!}*x^{k} = \sum_{k=0}^{ \infty }{n+k-1\choose k}*x^{k}}\)
i masz funkcję tworzącą znaną mówiącą na ile sposobów można do rozróżnialnych szuflad wrzucać nierozróżnialne kule
\(\displaystyle{ f(n,k)={n+k-1\choose k}}\)-- 24 grudnia 2011, 21:55 --Fakt byłeś bardzo blisko
gdzie:
\(\displaystyle{ (-n)_{k}=(-1)^{k}n(n+1)...(n+k-1)}\)
zatem:
\(\displaystyle{ f(x)= \sum_{k=0}^{ \infty } \frac{(n+k-1)!}{(n-1)!k!}*x^{k} = \sum_{k=0}^{ \infty }{n+k-1\choose k}*x^{k}}\)
i masz funkcję tworzącą znaną mówiącą na ile sposobów można do rozróżnialnych szuflad wrzucać nierozróżnialne kule
\(\displaystyle{ f(n,k)={n+k-1\choose k}}\)-- 24 grudnia 2011, 21:55 --Fakt byłeś bardzo blisko