to mnie przerasta:(

[venomX]

To jest plik skopiowany( zawiera duzo bledow)

Jezeli ktos jest w stanie to zrobic ( nawet odplatnie) bo troche tego duzo , a czasu mam malo
prosze o kontakt GG 9801205


Przykłady zadan
z Metod Probabilistycznych
1 Kombinatoryka
1.1 Dowody Kombinatoryczne Równosci
1. Udowodnic wzór na sume skonczonego szeregu geometrycznego wykorzystujac
model z rzucaniem nieprawidłowej (nieuczciwej) monety.
4. Udowodnij, ze na dowolnym przyjeciu (z co najmniej dwoma osobami)
zawsze istnieja dwie osoby, które wsród obecnych maja tyle samo
przyjaciół.
5. Z posród liczb {1, 2, . . . , n} wybrano k liczb {x1, x2, . . . , xk}. Oszacowac
maksymalna wielkosc m aby zbiór {x1, x2, . . . , xm} był wolny
od sum tzn. aby dla dowolnych dwóch róznych podzbiorów tego zbioru
{y1, . . . , yk} i {z1, . . . , zl}, sumy ich elementów były rózne, czyli
Pk
i=1 yi 6= Pl
i=1 zi.
3 Zdarzenia
1. Wyznaczyc zdarzenie X z równosci
X [ A [ X [ A = B.
2. Udowodnic, ze nastepujace zdarzenia tworza układ zupełny zdarzen:
A, A B, A [ B.
4 Prawdopodobienstwo klasyczne
1. Z urny zawierajacej kule o numerach 1, 2, . . . ,N losujemy k razy po
jednej kuli. Obliczyc prawdopodobienstwo, ze numery wylosowanych
kul zapisane w kolejnosci losowania tworza ciag rosnacy, jesli po kazdym
losowaniu kula:
(a) zostanie zwrócona do urny przed nastepnym losowaniem,
(b) nie zostanie zwrócona.
2. Grupa składajaca sie z n ustawia sie losowo w kolejce. Obliczyc prawdopodobienstwo,
ze pomiedzy z góry ustalonymi dwiema osobami –
np. A i B bedzie stało dokładnie r osób.
3. W sali o k miejscach siada losowo n osób. Obliczyc prawdopodobienstwo,
ze m wczesniej ustalonych miejsc bedzie zajetych.


7. W urnie jest n kul ponumerowanych liczbami 1, 2, . . . , n. Losujemy kolejno
kule bez zwracania. Jakie jest prawdopodobienstwo, ze w pierwszych
k losowaniach numer wylosowanej kuli bedzie równy numerowi
losowania?
8. Grupe n mezczyzn i n kobiet rozsadzono, w sposób losowy, wokół
okragłego stołu. Jakie jest prawdopodobienstwo, ze dwie osoby tej
samej płci nie beda siedziały obok siebie?
5 Prawdopodobienstwo sumy zdarzen
1. Do pociagu złozonego z n wagonów wsiada k pasazerów, k ­ n którzy
wybieraja losowo wagony. Obliczyc prawdopodobienstwo, ze do
kazdego wagonu wsiadzie przynajmniej jeden pasazer.
2. Stosujac metody rachunku prawdopodobienstwa, dowiesc nierównosci:
(1 − xm)n + (1 − (1 − x)n)m ­ 1,
gdzie x 2 [0, 1], a m i n sa liczbami naturalnymi.
3. Zdarzenia A,B i C sa niezalezne parami, ale wszystkie trzy zdarzenia
nie moga zajsc równoczesnie. Oprócz tego P(A) = P(B) = P(C) = x.
Wyznaczyc najwieksza mozliwa wartosc x.
4. Udowodnic, ze dla dowolnych dwóch zdarzen A i B spełniona jest
równosc P(AB) = 1 − P(A) − P(B) + P(AB).
4
5. Kazda z N + 1 urn zawiera N kul. Urna o numerze k zawiera k kul
białych i reszte czarnych, k = 1, . . . ,N.
(a) Z losowo wybranej urny losujemy n razy po jednej kuli ze zwracaniem
¯
,
(b) Z losowo wybranej urny losujemy n razy po jednej kuli bez zwracania
¯
.
Jakie jest prawdopodobienstwo, ze wszystkie wylosowane kule beda
białe w obu przypadkach?
6. Trzej gracze kolejno rzucaja uczciwa moneta. Wygrywa ten, który
pierwszy wyrzuci orła. Obliczyc prawdopodobienstwo, wygranej kazdego
z graczy.
7. Dwie osoby graja w gre w której aby wygrac pierwsza osoba musi
wygrac m partii, a druga n partii. Prawdopodobienstwo wygrania pojedynczej
partii przez pierwszego gracza wynosi p, nie ma remisów.
Obliczyc prawdopodobienstwo zwyciestwa pierwszego gracza.
8. Dane sa prawdopodobienstwa zdarzen A i AB wyznaczyc prawdopodobienstwo
zdarzenia AB.
9. Kazda z N +1 urn zawiera N kul. Z tym, ze urna o numerze k zawiera
k kul białych i N − k kul czarnych. Z losowo wybranej urny losujemy
n kul ze zwracaniem. jakie jest prawdopodobienstwo, ze wszystkie
wylosowane kule beda białe?
6 Zasada właczania-wyłaczania
1. Ile jest mozliwych ciagów róznych 10 liter, które nie zawieraja słowa
MATH, THE, QUIZ?
2. Sekretarka włozyła do dziesieciu zaadresowanych kopert dziesiec rachunków
(do kazdej koperty po jednym rachunku).
(a) Jakie jest prawdopodobienstwo, ze choc jeden rachunek dojdzie
do adresata?
(b) Dokładnie k osób dostanie odpowiednie rachunki?

4. Na ile sposobów mozna ustawic n par małzenskich w jednej lini, tak
aby maz nie stał przed zona?
5. Ile jest surjekcji ze zbioru {x1, . . . , xn} do {y1, . . . , ym}?
7 Niezaleznosc zdarzen
1. Niech zdarzenia A1, . . . ,An beda niezalezne parami. Czy musza one
wtedy byc niezalezne zespołowo? Jesli nie to podac przykład.
2. A i B sa zdarzeniami wykluczajacymi sie, przy czym P(A) 6= 0 i
P(B) 6= 0. Czy te zdarzenia sa niezalezne?
3. Z talii 36 kart losujemy jedna karte. Rozpatrujemy zdarzenia: A −
{wylosowanakartajestpikiem} i B−{wylosowanakartajestdam}. Czy
zdarzenia te sa niezalezne? Jaka bedzie odpowiedz, jesli talia zawiera
52 karty?
4. Udowodnic, ze jezeli P(A|B) = P(A|B), to zdarzenia A i B sa niezalezne.
5. Niech A1,A2, . . . ,An beda zdarzeniami niezaleznymi takimi, ze P(Ai) >
0 dla i = 1, . . . , n oraz P(Sn
i=1 Ai) = 1. Dowiesc, ze prawdopodobienstwo
jednoczesnego zajscia tych zdarzen nie przewyzsza n−n.
6. Zdarzenia A1,A2, . . . ,An sa niezalezne i maja jednakowe prawdopodobienstwo
p. Jakie jest szansa, ze:
(a) zajda wszystkie naraz?
(b) nie zajdzie zadne z nich?
(c) zajdzie dokładnie jedno?
(d) zajdzie choc jedno?
8 Prawdopodobienstwo warunkowe
1. Rzucamy czterema kostkami do gry. Wiadomo, ze na kazdej kostce
wypadła inna liczba oczek. Jakie jest prawdopodobienstwo, ze:
(a) na zadnej kostce nie wypadła szóstka;
(b) na jednej kostce wypadła szóstka?
6
2. Podac przykład zdarzen A i B, dla których
(a) P(A) < P(A|B),
(b) P(A) > P(A|B).
3. W urnie sa dwie kule – czarna i biała. Losujemy po jednej kuli az do
otrzymania kuli czarnej, przy czym po kazdym wylosowaniu kuli białej
zwracamy ja, jednoczesnie dorzucajac dwie nowe kule białe. Obliczyc
prawdopodobienstwo, ze w pierwszych 50 losowaniach nie wylosowano
kuli czarnej.
4. Udowodnic, ze jesli A i B to zdarzenia dla których P(A) > 0, P(B) > 0
i P(A|B) > P(A) to P(B|A) > P(B).
5. A i B sa zdarzeniami wykluczajacymi sie, P(A) 6= 0, P(B) 6= 0. To
czy sa one niezalezne? Jesli nie podac kontrprzykład.
9 Prawdopodobienstwo całkowite, Wzór Bayesa
1. Wurnie jest b kul białych, c kul czarnych, kul zółtych i z kul zielonych.
Wybieramy jedna kule i bez sprawdzania koloru wyrzucamy. Jakie jest
prawdopodobienstwo, ze za drugim razem wylosujemy kule biała?
2. Sposród 10 monet jedna ma orła z obu stron. Wykonano 10 rzutów
losowo wybrana moneta i otrzymano 10 orłów. Jakie jest prawdopodobienstwo,
ze rzucano moneta z orłami po obu stronach?
3. Mamy 13 urn Y1, . . . , Y13. W urnie Yi znajduje sie i kul białych i 13−i
kul czarnych, i = 1, . . . , 13. Wybieramy jedna z urn, przy czym prawdopodobienstwo
wylosowania kazdej urny jest proporcjonalne do ilosci
znajdujacej sie w niej białych kul. Z losowo wybranej urny wyciagnieto
dwie kule. Do której z urn naleza z najwiekszym prawdopodobienstwem
te bile?
4. * Pudełko zawiera n losów, z których m ¬ n wygrywa 1000 zł, a
pozostałe przegrywaja. Kazdy z n graczy wybiera kolejno los. Czy
szanse wygranej sa równe dla wszystkich graczy? Kiedy najkorzystniej
wybierac los?
5. Jest n monet, z których k jest asymetrycznych i orzeł na nich wypada
z prawdopodobienstwem 1
3 . Wybrano losowo monet i w wyniku rzutu
wypadł orzeł. Jaka jest szansa, ze moneta jest asymetryczna?
7
6. Sposród 2n sztuk zarówek k jest uszkodzonych. Jak zapakowac je do
dwóch paczek po n sztuk w taki sposób, by szansa wykrycia przez
kontrolera wadliwych egzemplarzy była jak najmniejsza? Kontroler
wybiera jedna sztuke z losowej paczki.
7. Sposród e-maili, które docieraja do pewnego urzedu 30% jest spamu.
Słowo ”oferta” wystepuje w ”normalnym” mailu zaledwie w 2%
przypadków, natomiast w spamie w 95% przypadków. Jakie jest prawdopodobienstwo,
ze w mail, który własnie dotarł do urzedu i zawiera
słowo ”oferta” jest spamem?
10 Schematy Urnowe Pólya
2. W urnie znajduje sie n kul białych ponumerowanych od 1 do n oraz
n kul czarnych równiez ponumerowanych od 1 do n. Losujemy jednoczesnie
2l kul. Obliczyc prawdopodobienstwo, ze wsród wylosowanych
kul bedzie dokładnie k par kul o tych samych numerach. Na podstawie
otrzymanego wyniku obliczyc sume:
Sn = 2n
2l! lXk=0 n − k
2l − 2k! n
k!22l−2k.
3. * Urna zawiera n kul. Wszystkie mozliwe załozenia co do ilosci białych
kul w tej urnie sa jednakowo prawdopodobne. Do urny wrzucamy jedna
biała kule. Jakie jest prawdopodobienstwo, ze wylosowana nastepna
kula bedzie biała?
4. W schemacie urnowym Pólya obliczyc prawdopodobienstwo, ze
(a) w dwóch kolejnych doswiadczeniach zostana wylosowane kule róznych
kolorów,
(b) w kolejnych trzech losowaniach wylosowane zostana kule tego samego
koloru.
8
(c) Dane sa dwie urny i 20 kul, 10 białych i 10 czarnych. Jak rozdzielic
te kule na dwie urny tak aby po losowym wybraniu jednej urny
a pózniej wylosowaniu kuli prawdopodobienstwo, ze bedzie ona
biała, było mozliwie najwieksze?
11 Prawdopodobienstwo Geometryczne
1. Na odcinku o długosci 1 wylosowano dwa punkty. Jakie jest prawdopodobienstwo,
ze ani jedna z otrzymanych w ten sposób czesci nie bedzie
krótsza niz a, gdzie 0 ¬ a ¬ 1
3 .
2. W koło wpisano kwadrat. Wyznaczyc prawdopodobienstwo, ze losowo
rzucony punkt znajdzie sie wewnatrz kwadratu.
3. W koło wpisano kwadrat. Z pieciu punktów, rzuconych losowo na koło,
jeden znajdzie sie w kwadracie, a pozostałe – po jednym w kazdym z
czterech wycinków koła.
4. Szybko krecaca sie tarcze podzielono na szesc równych sektorów i pomalowano
naprzemiennie dwoma kolorami czarnym i białym. Strzelono
do tarczy z pistoletu. Jakie jest prawdopodobienstwo trafienia w biały
sektor?
5. Wybrano losowo dwie liczby rzeczywiste x i y za zakresu 0 do 2, jakie
jest prawdopodobienstwo, ze x
y bedzie wieksze od dwóch, a y
x , bedzie
mniejsze od 2.
12 Schemat Bernoullego
1. Załózmy, ze z błekitna linia TP łaczy sie srednio 10 abonamentów na
godzine. I kazdy z nich załatwia swoja sprawe srednio w 12 minut.
Połaczenia dwóch róznych abonamentów sa niezalezne. Jaka jest minimalna
liczba operatorów potrzebna do tego, aby z prawdopodobienstwem
0, 99 mozna było obsłuzyc wszystkich klientów w danej chwili.
2. Urna zawiera jedna biała i jedna czarna kule. Losujemy ze zwracaniem,
do momentu, az nie wylosujemy o 2 wiecej kul białych niz czarnych.
Jakie jest prawdopodobienstwo, ze wykonamy nie wiecej niz 2n.
3. Dwóch graczy rozgrywa 20 partii, przy czym kazdy z graczy wygrywa
dowolna partie z jednakowym prawdopodobienstwem 0, 2. Jakie jest
prawdopodobienstwo, ze gra zakonczy sie wynikiem 12 : 8
9
4. Gracz A i B graja w ping-ponga i koncza seta gra ”na przewage” przy
stanie gry 20 : 20. Wiadomo, ze A wygrwa dwie piłki na trzy. Jaka ma
szanse wygranej gracz B?
13 Zmienna losowa dyskretna
1. Niech bedzie liczba na górnej scianie kostki, a na dolnej scianie
kostki (suma oczek na przeciwległych scianach kostki jest równa 7).
Wyznaczyc rozkład zmiennej losowej = .
2. W urnie znajduja sie kule oznaczone numerami od 1, . . . ,N losujemy
bez zwracania k kul. Niech oznacza najwiekszy numer wylosowanej
kuli. Wyznaczyc rozkład .
3. W urnie znajduja sie kule oznaczone numerami od 1, . . . ,N losujemy
ze zwracaniem k kul. Niech oznacza najwiekszy numer wylosowanej
kuli. Wyznaczyc rozkład .
4. Przeprowadzamy niezalezne doswiadczenia losowe z prawdopodobienstwem
sukcesu równym p. Doswiadczenia sa kontynuowane, az do uzyskania
pierwszego sukcesu. Znalezc:
(a) rozkład zmiennej losowej opisujacej reprezentujacej liczbe przeprowadzonych
doswiadczen.
(b) najbardziej prawdopodobna liczbe doswiadczen.
5. Niech i beda zmiennymi losowymi niezaleznymi o rozkładzie jednostajnym
dla liczb 1, 2, . . . , 10. Wyznaczyc rozkład warunkowy zmiennej
, przy warunku + = n.
6. Pierwszy gracz rzuca trzema monetami, a drugi dwiema monetami.
Wygrywa i dostaje piec monet ten z graczy, który wyrzuci wiecej orłów.
Jesli ilosc orłów u obu graczy jest taka sama, gra jest kontynuowana
do momentu, az jeden z nich nie wygra. Jaka jest wartosc oczekiwana
wygranej kazdego z graczy?
7. W procesorze mamy 486 mamy około 1.5 mln tranzystorów. Prawdopodobienstwo
uszkodzenia jednego z nich w ciagu doby wynosi 0.001.
Jakie jest prawdopodobienstwo, ze w ciagu doby co najmniej 3 tranzystory
ulegna przepaleniu.
10
14 Zmienna losowa ciagła
1. Krawedz szescianu przyjmuje losowa długosc z przedziału [1, 2] z jednakowym
prawdopodobienstwem. Wyznaczyc przecietna objetosc, pole
powierzchni oraz wariancje.
2. Wytrzymałosc stalowych lin pochodzacych z produkcji masowej ma
rozkład N(1000kg/cm3, 50kg/cm3). Wiadomo, ze w konstrukcji nalezy
uzyc lin o wytrzymałosci co najmniej 900kg/cm3. Jaki procent lin
pochodzacych z produkcji jest bezuzytecznych?
3. Termometr wykonuje pomiar z błedem systematycznym 1.5 stopnia
Celsiusa i bład losowy o rozkładzie N(0, 2.0Co).
(a) Obliczyc wartosc przecietna błedu pomiaru.
(b) Wyznaczyc prawdopodobienstwo faktu, ze bład pomiaru temperatury
nie przekracza 2 stopnie Celsiusa.
4. Z przystanku autobusy odjezdzaja co 10 minut. Zakładajac, ze rozkład
przybycia pasazera na przystanek jest jednostajny obliczyc prawdopodobienstwo,
ze pasazer bedzie czekał 4 minuty.
5. Dwie osoby umówiły sie na spotkanie pomiedzy godzina 13−14. Kazda
z tych osób przychodzi w dowolnym momencie pomiedzy 13 − 14 z
jednakowym prawdopodobienstwem. Osoba, która pierwsza przyjdzie
czeka na druga osobe. Ile srednio wynosi czas oczekiwania pierwszej
osoby na druga?
6. Punkt losowy (, ) ma rozkład jednostajny w kwadracie {(x, y) : 0 ¬
x, y ¬ 1}. Dla jakich wartosci c zdarzenia Ac = {| − | ­ c} i Bc =
{ + ¬ 3c} sa niezalezne.
7. Dane sa dwie niezalezne zmienne losowe i o rozkładzie Couchiego
z parametrami a = a1, b = b1 i a+a2, b = b2. Znalezc gestosc zmiennej
losowej + .
9. X ma rozkład wykładniczy z parametrem .Wyznaczyc rozkład zmiennej
losowej e−X.
11
15 Wartosc oczekiwana i Wariancja Zmiennej Losowej
1. Niech zmienna losowa ma rozkład dwumianowy o parametrach (n, p)
Znalezc
(a) E{| − np|};
(b) D{| − np|}.
2. Niech zmienna losowa 1 2 N(0, 1), a 2 = 2
1 − 1. Pokazac, ze współczynnik
korelacji (1, 2) jest równy zeru.
3. Ile srednio nalezy wykonac rzutów kostka, aby otrzymac 6 oczek. Obliczyc
wariancje.
4. Ile srednio nalezy wykonac rzutów kostka, aby otrzymac wszystkie
mozliwe wyniki. Obliczyc wariancje.
5. Znalezc srednia liczbe dni w roku, które sa dniami urodzin dokładnie
k osób sposród grupy n osób. Załozyc, ze rok ma 365 dni.
16 Statystyka
1. Wysunieto hipoteze, ze 60% Polaków jest w wieku produkcyjnym. W
celu sprawdzenia tej hipotezy zbadano wiek 6000 mieszkanców pewnego
miasta i stwierdzono, ze 4200 wsród przebadanych było w wieku
produkcyjnym. Na poziomie istotnosci = 0, 05 zweryfikowac te hipoteze.
2. Z trzech róznych wydziałów pewnej uczelni wybrano odpowiednio n1 =
7, n2 = 10, n3 = 6 studentów i zbadano uzyskane przez nich oceny. Z
ocen tych obliczono wariancje otrzymujac bs21
= 1, 45bs22
= 0, 93, bs23
=
1, 14. Zakładajac, ze rozkład ocen jest normalny, zweryfikowac na poziomie
istotnosci = 0, 05 hipoteze o równosci wariancji ocen dla
wszystkich studentów z tych wydziałów.
12

[Puzon]

mnie tez przerasta, ale ilość zadań
pewnie bym coś zrobił, ale nawet nie chce mi się czytać wszystkiego - venomX, podziel to na pojedyncze, podwójne lub potrójne sety z zadaniami i od razu znajdą się rozwiązania

ps. a dla Administracji - sorki za OffTop

[venomX]

ok dzieki juz sie biore, bedzie ladniej:)

[*Kasia]

Udowodnij, ze na dowolnym przyjeciu (z co najmniej dwoma osobami)
zawsze istnieja dwie osoby, które wsród obecnych maja tyle samo
przyjaciół.

Mamy \(\displaystyle{ n+1}\) osób
Jeżeli z sali wyjdą osoby, które nikogo nie znają, to liczba znajomych się nie zmieni.
Dlatego załóżmy, że każdy zna co najmniej jedną osobę.
Liczba znajomych każdej z osób należy do zbioru \(\displaystyle{ \{1,\ 2,\ ,...,\ n}}\).
Korzystając z zasady szufladkowej, istnieją co najmniej dwie osoby, które mają taką samą liczbę znajomych.
c.n.u.

[ Dodano: 1 Luty 2007, 21:16 ]

8. Grupe n mezczyzn i n kobiet rozsadzono, w sposób losowy, wokół
okragłego stołu. Jakie jest prawdopodobienstwo, ze dwie osoby tej
samej płci nie beda siedziały obok siebie?

Próbowałabym to liczyć jakoś tak:
\(\displaystyle{ \frac{C^1_n C^1_n C^1_{n-1} C^1_{n-1} \ ...\ C^1_1 C^1_1}{P_{2n}}}\)

W liczniku: najpierw wybieramy jedną z \(\displaystyle{ n}\) kobiet, potem jednego z \(\displaystyle{ n}\) mężczyzn, jedną z \(\displaystyle{ n-1}\) kobiet, itd.
W mianowniku: wszystkich możliwych ustawień jest chyba \(\displaystyle{ (2n)!}\)

[ Dodano: 1 Luty 2007, 21:21 ]

4. Udowodnic, ze jezeli P(A|B) = P(A|B), to zdarzenia A i B sa niezalezne.

Chyba zrobiłeś błąd przy przepisywaniu. Bo tylko z równości \(\displaystyle{ 0=0}\) to daleko zajść nie można, a przynajmniej nie można rozwiązać tego zadania.

[ Dodano: 1 Luty 2007, 21:24 ]

4. Udowodnic, ze dla dowolnych dwóch zdarzen A i B spełniona jest
równosc P(AB) = 1 − P(A) − P(B) + P(AB).

Znowu coś nie tak. Ta równość jest równoważna:
\(\displaystyle{ 1=P(A)+P(B)}\), a tego w zadaniu nie ma...

[ Dodano: 1 Luty 2007, 21:32 ]

6. Trzej gracze kolejno rzucaja uczciwa moneta. Wygrywa ten, który
pierwszy wyrzuci orła. Obliczyc prawdopodobienstwo, wygranej kazdego
z graczy.

Dla pierwszego: \(\displaystyle{ \frac{1}{2}+\frac{1}{16}+...+\frac{1}{2\cdot 8n}}\), gdzie n należy do naturalnych.
Dla drugiego: \(\displaystyle{ \frac{1}{4}+\frac{1}{64}+...+\frac{1}{4\cdot8n}}\)
Dla trzeciego: \(\displaystyle{ \frac{1}{8}+\frac{1}{128}+...+\frac{1}{8\cdot 8n}}\)

Jeśli chcesz wiedzieć dlaczego tak, to zajrzyj tutaj: https://matematyka.pl/viewtopic.php?p=120225#120225
Jest tu podobna sytuacja, tylko że dla dwóch osób.

[ Dodano: 1 Luty 2007, 21:38 ]

8. Dane sa prawdopodobienstwa zdarzen A i AB wyznaczyc prawdopodobienstwo
zdarzenia AB.

Dane jest prawdopodobieństwo zdarzenia (A i AB) czy zdarzeń A i AB? Bo jeśli to drugie (a na to wskazuje treść zadania), to szukane prawdopodobieństwo masz dane...

[ Dodano: 1 Luty 2007, 21:47 ]

4. Z przystanku autobusy odjezdzaja co 10 minut. Zakładajac, ze rozkład
przybycia pasazera na przystanek jest jednostajny obliczyc prawdopodobienstwo,
ze pasazer bedzie czekał 4 minuty.

(autobusy odjeżdżają regularnie? a gdzie takie cuda można oglądać? )

Czekał dokładnie 4 minuty, czy może krócej (z treści wynika, że to pierwsze, ale wolę się dopytać...)

Jeżeli dokładnie, to mamy jedno zdarzenie sprzyjające i dziesięć wszystkich. Czyli prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ \frac{1}{10}}\)

Jeśli co najwyżej 4 minuty, to pięć zdarzeń sprzyjających (może przybyć równo z autobusem) i dziesięć wszystkich. Prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ \frac{5}{10}=\frac{1}{2}}\)

Założyłam, że pasażer przybywa o równych minutach, bo jak jeszcze liczyć każde możliwości z dokładnością co do setnej, to by się ktoś mógł gorzej poczuć...

[ Dodano: 1 Luty 2007, 21:49 ]

3. Dwóch graczy rozgrywa 20 partii, przy czym kazdy z graczy wygrywa
dowolna partie z jednakowym prawdopodobienstwem 0, 2. Jakie jest
prawdopodobienstwo, ze gra zakonczy sie wynikiem 12 : 8

A te 0,6 to na remisy?

[venomX]

Dziekuje:)

Te zadania sa na pewno dobrze(takie dostalem),reszte jakos ruszylem,dziekuje jeszcze raz,jak bedziesz miala zamiar wkoncu wyrzucic ten win98 i przesiasc sie na XP-ka to daj znac poradze co do sprzetu itp

[wowo14]

mamy 52 karty losujemy 13 kart w których mają się znaleźć 4 asy 3 króle i 2 damy
z góry dziękuje za odp