Liczba przedstawień liczby naturalnej n

[Max1414]

Pokaż, że liczba przedstawień liczby naturalnej n w postaci sumy k liczb naturalnych (różnych od zera) wynosi:
\(\displaystyle{ {n-1 \choose k-1}}\)
jeśli przedstawienia różniące się kolejnością składników uważamy za różne. Ile jest przedstawień liczby n w postaci sumy dowolnej ilości liczby naturalnych?

[bartek118]

Spróbuj ułożyć wzór rekurencyjny:

\(\displaystyle{ a_{n}}\) - liczba przedstawień liczby \(\displaystyle{ n}\)

\(\displaystyle{ a_{1}=...=a_{k-1}=0}\)

\(\displaystyle{ a_{k}=1}\)

\(\displaystyle{ a_{l}=a_{l-1}\cdot (l-1)}\)

Nie jestem pewien, ale na oko wydaje się ok, teraz tylko trzeba wyznaczyć np. metodą podstawiania wzór jawny.

[Max1414]

Podstawiłem do trzech kolejnych wyrażów - \(\displaystyle{ a_{k+1} a_{k+2} a_{k+3}}\) i widać, że \(\displaystyle{ a_{k+n} = \frac{(k+n-1)!}{(k-1)!}}\)

Ale nie wiem jak z tego dojść do \(\displaystyle{ {n-1 \choose k-1}}\)
Ogólnie to chyba nie jest to samo, bo dla np. n=5, k=3 to nie są te same liczby.

[Xitami]

kolumny
1) numer podziału
2) liczba składników
3) składniki
4) liczba unikalnych permutacji składników
klikając [wyślij z nowym wejściem] można coś sobie policzyć