Witam serdecznie na piątek muszę zrobić zadanie:
Dane są początkowe wyrazy ciągu nieskończonego:
\(\displaystyle{ a_0=1, a_1=15, a_2=150, a_3=1250, a_4=9375, a_5=65625, a_6=437500}\)
Znajdź wzór na \(\displaystyle{ a_n}\).
W celu zweryfikowania poprawności odgadniętego wzoru sprawdź czy \(\displaystyle{ a_{20}= 22029876708984375}\)
proszę o pomoc jak do tego się zabrać w ogóle. Nie miałem nigdy z tym styczności. Gdzieś wyczytałem, że chyba za pomocą funkcji tworzącej tak? Nie chodzi mi o to, żeby ktoś za mnie to wszystko zrobił tylko aby pokazac jak to rozwiązać. Jakieś linki z podobnymi zadaniami albo coś. Muszę to "zajarzyć" gdyż jest to zadanie które będę zdawał przed doktorem , proszę pomóżcie
Wzór na an ciągu liczbowego funkcja tworząca
Wzór na an ciągu liczbowego funkcja tworząca
Dziękuję bardzo, tylko tak jak napisałem, czy byłaby możliwość wytłumaczenia "łopatologicznie" jak to zrobić. Bez tej wiedzy nie ma szans na zaliczenie zadania. Bardzo proszę i pozdrawiam
-
anna_
- Użytkownik
- Posty: 16328
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3247 razy
Wzór na an ciągu liczbowego funkcja tworząca
Robłam to na chłopski rozum, niestety
\(\displaystyle{ a_0=1, a_1=15, a_2=150, a_3=1250, a_4=9375, a_5=65625, a_6=437500}\)
Najpierw rozłożyłam sobie te liczby na czynniki pierwsze
\(\displaystyle{ a_0=1\\
a_1=3 \cdot 5\\
a_2=2 \cdot 3 \cdot 5^2\\
a_3=2 \cdot 5^4\\
a_4=3 \cdot 5^5 \\
a_5=3 \cdot 5^5 \cdot 7\\
a_6=2^2 \cdot 5^6 \cdot 7}\)
Widać, że w każdym (poza \(\displaystyle{ a_0)}\) z rozkładów jest potęga liczby \(\displaystyle{ 5}\), uzależniłam to od indkesu, czyli
\(\displaystyle{ a_0=5^0\\
a_1=3 \cdot 5^1\\
a_2=2 \cdot 3 \cdot 5^2\\
a_3=2 \cdot 5 \cdot 5^3\\
a_4=3 \cdot 5 \cdot 5^4 \\
a_5=3 \cdot 5^5 \cdot 7\\
a_6=2^2 \cdot 5^6 \cdot 7}\)
potem zapisałam to w postaci:
\(\displaystyle{ a_0=5^0\\
a_1=3 \cdot 5^1\\
a_2=6 \cdot 5^2\\
a_3=10 \cdot 5^3\\
a_4=15 \cdot 5^4 \\
a_5=21 \cdot 5^5 \\
a_6=28\cdot 5^6}\)
Teraz szukałam zależności między indeksami , a liczbami \(\displaystyle{ 3,6,10,15,21,28}\)
\(\displaystyle{ 1-->3\\
2-->6\\
3-->10\\
4-->15\\
5-->21\\
6-->28}\)
(zrobiłam sobie wykres i przypominał część wykresu funkcji kwadratowej, więc kombinowałam z trójmianami, wyszła mi ta druga część wzoru)
\(\displaystyle{ a_0=1, a_1=15, a_2=150, a_3=1250, a_4=9375, a_5=65625, a_6=437500}\)
Najpierw rozłożyłam sobie te liczby na czynniki pierwsze
\(\displaystyle{ a_0=1\\
a_1=3 \cdot 5\\
a_2=2 \cdot 3 \cdot 5^2\\
a_3=2 \cdot 5^4\\
a_4=3 \cdot 5^5 \\
a_5=3 \cdot 5^5 \cdot 7\\
a_6=2^2 \cdot 5^6 \cdot 7}\)
Widać, że w każdym (poza \(\displaystyle{ a_0)}\) z rozkładów jest potęga liczby \(\displaystyle{ 5}\), uzależniłam to od indkesu, czyli
\(\displaystyle{ a_0=5^0\\
a_1=3 \cdot 5^1\\
a_2=2 \cdot 3 \cdot 5^2\\
a_3=2 \cdot 5 \cdot 5^3\\
a_4=3 \cdot 5 \cdot 5^4 \\
a_5=3 \cdot 5^5 \cdot 7\\
a_6=2^2 \cdot 5^6 \cdot 7}\)
potem zapisałam to w postaci:
\(\displaystyle{ a_0=5^0\\
a_1=3 \cdot 5^1\\
a_2=6 \cdot 5^2\\
a_3=10 \cdot 5^3\\
a_4=15 \cdot 5^4 \\
a_5=21 \cdot 5^5 \\
a_6=28\cdot 5^6}\)
Teraz szukałam zależności między indeksami , a liczbami \(\displaystyle{ 3,6,10,15,21,28}\)
\(\displaystyle{ 1-->3\\
2-->6\\
3-->10\\
4-->15\\
5-->21\\
6-->28}\)
(zrobiłam sobie wykres i przypominał część wykresu funkcji kwadratowej, więc kombinowałam z trójmianami, wyszła mi ta druga część wzoru)
-
Xitami
Wzór na an ciągu liczbowego funkcja tworząca
% ... %2C+437500
... 5%2C437500
a z tego mój kalkulator podpowiada:
\(\displaystyle{ a_n = 15a_{n-1} -75a_{n-2} +125a_{n-3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{-125x^3 + 75x^2 - 15x + 1}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&15&150\end{array}\right]
\cdot\left[\begin{array}{ccc}0&0&125\\1&0&-75\\0&1&15\end{array}\right]^{n}=
\left[\begin{array}{ccc}a_n&a_{n+1}&a_{n+2}\end{array}\right]}\)
Kod: Zaznacz cały
http://oeis.org/search?q=1%2C15%2C150%252a z tego mój kalkulator podpowiada:
\(\displaystyle{ a_n = 15a_{n-1} -75a_{n-2} +125a_{n-3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{-125x^3 + 75x^2 - 15x + 1}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&15&150\end{array}\right]
\cdot\left[\begin{array}{ccc}0&0&125\\1&0&-75\\0&1&15\end{array}\right]^{n}=
\left[\begin{array}{ccc}a_n&a_{n+1}&a_{n+2}\end{array}\right]}\)
Wzór na an ciągu liczbowego funkcja tworząca
Aniu bardzo dziękuję. A czy moglabys jeszcze napisać jak kombinowałaś z tymi trojmianami? I która dokładnie część wzoru ci wyszła? Ja tez probowalem policzyc a,b podstawiajac pod x i y ale co troche inaczej mi wychodziło. Bardzo proszę
-
anna_
- Użytkownik
- Posty: 16328
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3247 razy
Wzór na an ciągu liczbowego funkcja tworząca
\(\displaystyle{ a_n}\) musiał być postaci \(\displaystyle{ 5^n \cdot cos}\)
Jak pisałam wykres przypominał parabolę więc rozwiązałam układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3 = a + b + c \\ 6 = 4a + 2b + c \\10 = 9a + 3b + c\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a= \frac{1}{2} \\b= \frac{3}{2} \\ c=1 \end{cases}}\)
czyli trójmian kwadratowy to \(\displaystyle{ \frac{1}{2}n^2+ \frac{3}{2}n+1= \frac{(n+1)(n+2)}{2}}\)
\(\displaystyle{ a_n= 5^n\frac{(n+1)(n+2)}{2}}\)
Jak pisałam wykres przypominał parabolę więc rozwiązałam układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3 = a + b + c \\ 6 = 4a + 2b + c \\10 = 9a + 3b + c\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a= \frac{1}{2} \\b= \frac{3}{2} \\ c=1 \end{cases}}\)
czyli trójmian kwadratowy to \(\displaystyle{ \frac{1}{2}n^2+ \frac{3}{2}n+1= \frac{(n+1)(n+2)}{2}}\)
\(\displaystyle{ a_n= 5^n\frac{(n+1)(n+2)}{2}}\)