Znajdź ciąg posiadający co najmniej 1 element z każdej grupy

[Cybran]

Witam serdecznie!
Mam takie zadanie z książki Rossa i Wrighta "Matematyka Dyskretna", str. 316, zad. 5, podpunkt f)

S jest zbiorem wszystkich ciągów dziesięcioelementowych utworzonych z cyfr 0, 1 i 2 (mogą się oczywiście powtarzać).

Pytanie: ile jest ciągów zawierających CO NAJMNIEJ jedno zero, jedną jedynkę i jedną dwójkę?


Nie mogę sobie dać rady.
Liczę tak:

nasz "alfabet" z którego wybieramy nazwijmy \(\displaystyle{ C={0, 1, 2}}\) czyli "moc alfabetu" wynosi \(\displaystyle{ \left| C\right|=3}\)
Ciągów dziesięcioelementowych utworzonych z tego "alfabetu" jest:
wariacja z powtórzeniami zbioru trzyelementowego \(\displaystyle{ 3 ^{10}}\).

Teraz: jeśli mam policzyć CO NAJMNIEJ, to robię odwrotnie.
Chcę policzyć:

(Wszystkie możliwe opcje)-(opcje BEZ zer + opcje BEZ jedynek + opcje BEZ dwójek)

i tu się zaczyna problem, bo nie chce mi wyjść.
Robię z zasady wyłączania:
B0 - bez zer \(\displaystyle{ B0=2 ^{10}}\)
B1- bez jedynek j.w
B2- bez dwójek j.w

\(\displaystyle{ (B0 \cup B1 \cup B2)= \left| B0\right| + \left| B1\right| + \left| B2\right| - (\left| B0+B1\right|+ \left| B0+B2\right|+ \left| B1+B2\right| ) + (\left| B0 \cap B1 \cap B2\right| )}\)

I tu nie daję rady, bo wychodzi mi na koniec:
\(\displaystyle{ 3x(2 ^{10}) - 6x(2^{10})}\) bo przecież część wspólna tych wszystkich zbiorów to zbiór pusty. Wynik tego działania jest liczbą ujemną, a to jest niemożliwe.

Gdzieś mam błąd w rozumowaniu.

Pomożecie?
Dość pilna sprawa, będę wdzięczny za jasne wytłumaczenie. Pozdrawiam!

[norwimaj]

1. Źle napisałeś zasadę włączeń i wyłączeń. Na pewno nie powinno być w niej napisów typu \(\displaystyle{ B0+B1}\).

2. Ile jest równe \(\displaystyle{ |B_0\cap B_1|}\)?

3. Nie używaj litery \(\displaystyle{ x}\) jako mnożenia. Źle się to czyta.

[octahedron]

Wszystkich jest \(\displaystyle{ 3^{10}}\), takich tylko z dwóch cyfr \(\displaystyle{ 3\cdot 2^{10}}\), takich składających się tylko z jednej cyfry \(\displaystyle{ 3}\), czyli wychodzi \(\displaystyle{ 3^{10}-3\cdot 2^{10}-3=3(3^9-2^{10}-1)}\)

[norwimaj]

octahedron, łatwiej jest zastosować wzór włączeń i wyłączeń, ale jeśli chcesz inaczej, to:

Wszystkich jest \(\displaystyle{ 3^{10}}\), takich tylko z dwóch cyfr \(\displaystyle{ 3\cdot 2^{10}-3}\), czyli wychodzi
\(\displaystyle{ 3^{10}-3\cdot 2^{10}{\color{red}+}3=3(3^9-2^{10}+1)}\).

[octahedron]

Racja, powinno być właśnie tak.