10 osób siada przy stole, 3 nie mogą koło siebie

[rzoob3r]

10 osób, wśród których są osoby A, B, C, siadają przy okrągłym stole. Jakie jest
prawdopodobieństwo tego, że żadne dwie osoby spośród A, B, C nie będą siedzieć obok siebie?

Próbowałem rozwiązać to zadanie na kilka różnych sposobów, ale zawsze wychodzi mi zły wynik.
Powinno wyjść \(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}}\). Mi wychodzi \(\displaystyle{ \frac{30}{72}}\) albo\(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\).

Prosze o jakies wskazówki.

[mat_61]

Może czegoś nie widzę, ale także wg mnie powinno być \(\displaystyle{ \frac{30}{72}}\).

Wszystkich możliwych usadzeń jest oczywiście \(\displaystyle{ 9!}\).

Usadzeń takich, że żadne dwie z osób A, B, C nie siedzą obok siebie jest:

- jeżeli pomiędzy A i B jest jedno puste miejsce: \(\displaystyle{ 2 \cdot 5}\) (2 możliwe miejsca dla B oraz 5 możliwych miejsc dla C)

- jeżeli pomiędzy A i B są dwa puste miejsca: \(\displaystyle{ 2 \cdot 4}\) (2 możliwe miejsca dla B oraz 4 możliwe miejsca dla C)

- jeżeli pomiędzy A i B są co najmniej trzy puste miejsca: \(\displaystyle{ 3 \cdot 4}\) (3 możliwe miejsca dla B oraz 4 możliwe miejsca dla C)

Oczywiście w każdym przypadku pozostałe osoby możemy usadzić na \(\displaystyle{ 7!}\) możliwych sposobów.

[rzoob3r]

no tak, maly blad, mozliwych usadzeń jest \(\displaystyle{ 10!}\), ale reszta rozumowalem podobnie, nie mam pojecia skad sie bierze \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\).

[piasek101]

no tak, maly blad, mozliwych usadzeń jest \(\displaystyle{ 10!}\)

Nie.
Było wyżej.

[rzoob3r]

no tak, ja liczylem jakby numer krzesla mial znaczenie.
dalej wychodzi \(\displaystyle{ \frac{30}{72}}\)

[mat_61]

Dlatego - tak jak wcześniej napisałem - uważam, że to jest poprawny wynik.

Także gdyby obliczyć p-stwo zdarzenia przeciwnego byłoby tak:

A': co najmniej dwie osoby spośród A, B, C będą siedzieć obok siebie.

I: dokładnie dwie osoby siedzą obok siebie.

Te dwie osoby możemy wybrać na 3 sposoby i posadzić obok siebie na 2 sposoby. Oczywiście trzecia z tych osób ma 6 miejsc do wyboru, co daje nam \(\displaystyle{ 3 \cdot 2 \cdot 6}\) usadzeń

II: trzy osoby siedzą obok siebie.

Mamy 6 możliwych usadzeń

Tak jak poprzednio pozostałe osoby możemy usadzić na \(\displaystyle{ 7!}\) możliwych sposobów.

Daje nam to wynik:

\(\displaystyle{ P(A)=1- \frac{42}{72} = \frac{30}{72}}\)

----------------------

Wynik \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) byłby poprawny gdyby treść zadania:

żadne dwie osoby spośród A, B, C nie będą siedzieć obok siebie

interpretować w ten sposób, że:

żadne dwie osoby spośród A, B, C nie będą samodzielnie siedzieć obok siebie

lub:

dokładnie dwie osoby spośród A, B, C nie będą siedzieć obok siebie

Przy takiej interpretacji mogą obok siebie siedzieć wszystkie 3 osoby. Ponieważ można je posadzić na 6 sposobów, to dodając te możliwości mamy wynik:

\(\displaystyle{ P(A)= \frac{36}{72}= \frac{1}{2}}\)

[rzoob3r]

wszystko jasne, bardzo dziekuje za pomoc

[mat_61]

Żeby nie było wątpliwości, to ja taką interpretację zadania która daje wynik \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) uważam za logiczny dziwoląg.

Czy np. przy usadzeniu B-C-A można powiedzieć, że żadne dwie osoby spośród A, B, C nie siedzą obok siebie? Jak dla mnie to obok siebie siedzą B i C oraz C i A.

[rzoob3r]

no pewnie, ze tak