permutacje cyfr

[6mari9]

Ile jest permutacji cyfr 0,...,,9 , w których pierwsza cyfra jest większa od 1 lub ostatnia jest mniejsza od 9? Jak zmieni się odpowiedź, jeśli lub zastąpić przez oraz?

moje rozwiązanie:
mamy dziesięć cyfry: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

a) na pierwszym miejscu stoi cyfra ze zbioru cyfr C1={2,3,4,5,6,7,8,9}, moc C1=8 a na pozostałych miejscach możemy rozstawić jeszcze 10-1=9 cyfr
czyli wszystkich permutacji cyfr 0,...,9 w których pierwsza cyfra jest większa od jeden jest:
8*9!
b) podobnie do a) czyli 9*9!
razem a)+b) daje nam 8*9!+9*9!=17*9!

gdy zastąpić lub przez oraz:
1 przypadek) na pierwszym miejscu cyfra 9 na ostatnim 9 cyfr pomiędzy 8! cyfr czyli: 1*9*8!
2 przypadek) na ostatnim miejscu 2 cyfry na pierwszym 8 cyfr pomiędzy 8! cyfr czyli:2*8*8!
razem 9*8!+16*8!=25*8!

Niech ktoś sprawdzi moje rozumowanie lub poda swój sposób na rozwiązanie tego zadania.

[mat_61]

Pierwszy przypadek jest zrobiony źle ponieważ:

\(\displaystyle{ \left| A \cup B\right| =\left| A\right| +\left| B\right| -\left| A \cap B\right|}\)

Ty nie uwzględniłaś ostatniego składnika co oznacza, że część przypadków masz policzone dwukrotnie. Przykładowo układ \(\displaystyle{ 3478902516}\) jest uwzględniony w pierwszym i drugim wariancie.

----------------------

2 przypadek) na ostatnim miejscu 2 cyfry na pierwszym 8 cyfr pomiędzy

Tutaj coś jest nie tak.
W pierwszym przypadku rozpatrzyłaś wariant gdy na pierwszym miejscu jest 9. Wówczas pozostałe cyfry można rozmieścić dowolnie, czyli jest \(\displaystyle{ 9!}\) możliwości i to jest OK.

Natomiast w drugim przypadku na pierwszym miejscu jest cyfra różna od 9 i większa od 1 co daje 7 możliwości. Na ostatnim jest cyfra różna od 9 i od tej wybranej na pierwszym miejscu co daje 8 możliwości a pozostałe są pomiędzy nimi rozmieszczone dowolnie. Czyli razem jest \(\displaystyle{ 7 \cdot 8 \cdot 8!}\) możliwości.

[6mari9]

fakt masz racje ale nie umiem tego już inaczej policzyć siedzę dzisiaj z tymi zadaniami i mam już kocioł. Możesz podać swoje rozwiązanie?-- 27 lis 2011, o 19:45 --Dzięki wielkie za pomoc

[mat_61]

Zastanów się. To nie jest trudne.

W punkcie a) uwzględniłaś te układy które mają na początku cyfrę większą od 1 a na ostatnim dowolną (czyli także te które mają na końcu cyfrę mniejszą od 9).

W punkcie b) uwzględniłaś te układy które mają na końcu cyfrę mniejszą od 9 a na pierwszym dowolną (czyli także te które mają na początku cyfrę większą od 1).

Z tego wynika, że zarówno w punkcie a) jak i w punkcie b) (czyli dwukrotnie) uwzględniłaś te układy które na początku mają cyfrę większą od 1 i jednocześnie na końcu mają cyfrę mniejszą od 9. A to są przecież te układy których dotyczy druga część zadania (ta ze słowem oraz).

Teraz wiesz co trzeba odjąć od tego co policzyłaś?