Kilka problemów z zakresu dwumianu Newtona

[Gallu]

Najpierw coś prostego:

\(\displaystyle{ \frac{3 \cdot \left[ {6 \choose 2} \cdot {15 \choose 13} + {6 \choose 4} \cdot {15 \choose 14} \right] }{ {16 \choose 2} }}\)
Wiem, że \(\displaystyle{ {6 \choose 2}}\) i \(\displaystyle{ {6 \choose 4}}\) są takie same i że \(\displaystyle{ {15 \choose 13} + {15 \choose 14} = {16 \choose 14}}\), tylko nie mam pomysłu jak to wykonać, zabrać się za to.

Drugie - wiadomo, że suma współczynników dwu ostatnich wyrazów rozwinięcie dwumianu \(\displaystyle{ \left( x+ \frac{1}{x^{2}}^{n} \right) \left( x \neq 0\right)}\) wynosi \(\displaystyle{ 19}\). Wyznacz szósty wyraz tego rozwinięcia. Rozważ dwa przypadki.
Najpierw chcę wyznaczyć wartość n:
\(\displaystyle{ {n \choose n-1}+ {n \choose n} = 19}\)
\(\displaystyle{ {n+1 \choose n} = 19}\)
\(\displaystyle{ \frac{(n+1) \cdot n}{n} = 19}\)
Mnożę razy n, ponieważ to muszą być dwie następujące po sobie liczby. I tutaj się gubię, nie wiem czy robić wtedy funkcję kwadratową czy co innego.

Trzecie - wyznacz trzynasty wyraz rozwinięcia \(\displaystyle{ \left( \sqrt{3} + \frac{1}{ \sqrt[4]{3} } \right)^{20}}\)
\(\displaystyle{ a_{13} = {20 \choose 14}}\) i \(\displaystyle{ a_{13} = {20 \choose 6}}\) - czy mógłby mi to ktoś rozwiązać, a przed rozwiązaniem napisać czy w ogóle dobrze to ułożyłem zastanawiam się nad 12 zamiast 14 i 8 zamiast 6, ale niczego nie jestem pewien...

Ostatnie - wyznacz wyraz rozwinięcia \(\displaystyle{ \left( x^{3} + \frac{1}{x} \right)^{15}}\), który zawiera \(\displaystyle{ x^{5}}\).
\(\displaystyle{ \left( x^{3} + \frac{1}{x} \right)^{15} = \sum_{i=0}^{n} {15 \choose i}\left( x^{3}\right)^{15-i} \cdot \left( \frac{1}{x} \right) ^{i}}\)

\(\displaystyle{ x^{3\left( 15-i\right)} \cdot x^{i} = x^{5}}\)

\(\displaystyle{ 45 - 3i + i = 5}\)

\(\displaystyle{ i = 20}\)
I tutaj odpowiedź jest trochę niemożliwa, bo chyba nie można stworzyć \(\displaystyle{ {15 \choose 20}}\) - prawda?

Z góry dzięki za każdą pomoc. Zadania są proste, ale cóż...;]-- 27 lis 2011, o 17:32 --Cholera, ludzie........... To jest przecież proste. Pomóżcie!

[Tokal]

1)
\(\displaystyle{ {16 \choose 14}={16 \choose 2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{3 \cdot {16 \choose 14} \cdot {6 \choose 2} }{ {16 \choose 2} }}\)
Skracamy \(\displaystyle{ {16 \choose 14} \ z \ {16 \choose 2}}\) i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 3\cdot {6 \choose 2}}\)

2)
Równanie kwadratowe i na koniec wychodzi n=18 bo n>0.

4)

\(\displaystyle{ x^{3\left( 15-i\right)} \cdot x^{i} = x^{5}}\)

Tutaj powinien być \(\displaystyle{ x^{-i}}\)

\(\displaystyle{ 45 - 3i - i = 5}\)

\(\displaystyle{ i = 10}\)