Układ kongruencji

plancys · Post autor: **plancys** » 25 lis 2011, o 13:06

Rozwiąż układ kongruencji:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 7x= 2 \pmod{5}\\3x = 2 \pmod{4}\\5x = 2 \pmod{6}\end{cases}}\)
Sposób rozwiązywania układów kongruencji z grubsza znam, niestety nie wiem jak postępować kiedy z lewej strony równania przy x występuję jakiś współczynnik albo ogólnie jeśli po lewej stronie równania jest coś innego niż x

brzoskwinka1 · Post autor: **brzoskwinka1** » 25 lis 2011, o 13:22

\(\displaystyle{ x=60k+46 \mbox{ gdzie } k\in\mathbb{Z}}\)

plancys · Post autor: **plancys** » 25 lis 2011, o 13:39

brzoskwinka1 pisze:\(\displaystyle{ x=60k+46 \mbox{ gdzie } k\in\mathbb{Z}}\)

A jaki jest sposób rozwiązania takiego układu? a dokładniej czym się różni od rozwiązania układu ze współczynnikiem 1 przy x z lewej strony?

Tokal · Post autor: **Tokal** » 25 lis 2011, o 18:06

Nie jestem pewien co do tego sposobu ale zrobiłbym to tak:
\(\displaystyle{ 7x= 2 \pmod{5}}\)
\(\displaystyle{ 2x= 2 \pmod{5}}\)
\(\displaystyle{ x= 2y \pmod{5}}\) , gdzie y to element odwrotny do 2 czyli:
\(\displaystyle{ 2y= 1 \pmod{5}}\)
\(\displaystyle{ 2y+5z=1}\)
\(\displaystyle{ 2*3+5*(-1)=1}\), wiec y=3
Czyli nasze równanie przyjmuje postać:
\(\displaystyle{ x= 2*3 \pmod{5}}\)
Postępując analogicznie dla kolejnych równań otrzymujemy (jeśli nie popełniłem błędu):
\(\displaystyle{ \begin{cases} x= 1 \pmod{5}\\x = 2 \pmod{4}\\x = 4 \pmod{6}\end{cases}}\)