Dowód na tożsamość - z dwoma sumami dwumianu Newtona

[trishiaStar]

Cześć. Mam zadanko nad którym już trochę siedzę i stwierdziłam, że jednak poproszę o Waszą pomoc.
muszę udowodnić dane twierdzenie:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} \left[ \sum_{i=0}^{k} {k \choose i} \right] = 3^{n}}\)

Z góry dziękuję za każda pomoc

[Qń]

Potrafisz policzyć wartość sumy w nawiasach kwadratowych?

Q.

[trishiaStar]

tak, suma w nawiasie to będzie \(\displaystyle{ 2^{k}}\). więc to skróci się do :

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} 2^{k}}\). nie byłoby problemu, gdyby zamiast \(\displaystyle{ 2^{k}}\) była jakaś stała, ale to się cały czas zmienia.-- 16 lis 2011, o 19:34 --Ahh... właśnie doszłam do rozwiązania. Ale i tak dziękuję za pomoc;)

[Qń]

To, że ta suma jest równa \(\displaystyle{ 2^k}\) wynika ze wzoru dwumianowego Newtona. Dokładnie ten sam wzór przyda się do obliczenia nowej sumy.

Q.