Kombinatoryka kilka zadań.

[Poul]

Witam serdecznie!

Jest to mój pierwszy post na forum. pomimo że studiuje tematy forum juz od jakiegoś czasu.
Dzięki wam zrozumiałem wiele zadań, za co dziękuje...

Chciałbym was poprosić, o pomoc w rozwiązaniu kilku zadań i jeśli to możliwe o wytłumaczenie
co z czego i dlaczego się tam wzieło...

Są to zadania, jakie dostaliśmy aby przygotować się na sprawdzian, nie bardzo je rozumiem,
ale wierze że dzięki waszej pomocy...wszystko stanie się jasne.

• 1. Ile mozna utworzyc liczb czterocyfrowych, w których na pierwszym i ostatnim miejscu wystepuje
  ta sama cyfra i w których cyfry moga sie powtarzac?
  
  2. Ile jest permutacji liczb 1, 2, . . . , n, w których liczby 1, 2, 3 nie tworza kolejnych wyrazów
  (niezaleznie od porzadku)?
  
  3. Cztery kule białe, cztery czarne i cztery zielone numerujemy i układamy obok siebie w szereg
  tak, aby kazde trzy po sobie nastepujace kule były róznej barwy. Iloma sposobami mozna to
  uczynic?
  
  4. W ciagu roku klient ma wpłacic do kasy 10 rat miesiecznych (moze np. wpłacic wszystkie w
  jednym miesiacu). Iloma sposobami moze to uczynic?
  
  5. Iloma sposobami mozna ustawic w rzecie p białych i q czarnych kul (p > q) w taki sposób,
  aby zadna czarna kula nie sasiadowała z czarna?
  
  6. Na ile sposobów mozna ustawic litery a,b,c,d,e w takiej kolejnosci aby:
  (a) litery a i b nie sasiadowały ze soba,
  (b) litery a i b sasiadowały ze soba, ale litery a i c nie.
  
  7. Z 24 kart wybieramy 5. Ile jest mozliwosci, w których dostaniemy:
  (a) 5 kart w jednym kolorze,
  (b) 1 pare i 1 trójke,
  (c) dwie pary,
  
  8. Kazda z siedmiu osób ma dwie kule (czarna i biała) i wrzuca do urny dokładnie jedna z nich.
  (a) Ile istnieje róznych mozliwych układów w urnie?
  (b) Ile istnieje róznych mozliwych układów w urnie, jesli kazdy uczestnik moze tez wstrzymac
  sie od głosu?

Pozdrawiam i z góry dziękuje !!!

[*Kasia]

1. Ile mozna utworzyc liczb czterocyfrowych, w których na pierwszym i ostatnim miejscu wystepuje
ta sama cyfra i w których cyfry moga sie powtarzac?

Pierwszą i ostatnią cyfrę można wybrać na 9 sposobów. Każdą ze środkowych możemy wybrać na 10 sposobów.
Razem otrzymujemy \(\displaystyle{ 9 10 10=900}\) różnych liczb spełniających warunki zadania.

[max]

2. Wszyskich permutacji jest n!
Liczymy ile jest nie spełniających warunków zadania:
liczby 1, 2, 3 możemy ustawić obok siebie na 3! sposobów. Dla każdego z takich ustawień, możemy te liczby umieścić wśród liczb 4, 5, 6, ..., n na n - 2 sposoby
\(\displaystyle{ n! - 3!\cdot(n - 2) = n! - 6(n - 2)}\)
3. Musimy wybierać kolejno po jednej kuli każdego koloru. Trzy kolory możemy ustawić w ciąg na 3! sposobów. Cztery kule każdego z trzech kolorów możemy ustawić w ciąg na 4! sposobów
\(\displaystyle{ 3!\cdot (4!)^{3}}\)

[Poul]

Dziękuje bardzo!!!

Czy ktoś wie jak rozwiązać pozostałe???

[*Kasia]

6. Na ile sposobów mozna ustawic litery a,b,c,d,e w takiej kolejnosci aby:
(a) litery a i b nie sasiadowały ze soba,

Od ilości wszystkich ustawień odejmij te, które nie spełniają warunków zadania.

8. Kazda z siedmiu osób ma dwie kule (czarna i biała) i wrzuca do urny dokładnie jedna z nich.
(a) Ile istnieje róznych mozliwych układów w urnie?
(b) Ile istnieje róznych mozliwych układów w urnie, jesli kazdy uczestnik moze tez wstrzymac
sie od głosu?

a) 7c; 6c 1b; 5c 2b; ...; 1c 6b; 7b (8 możliwości)

b) 7 kul - 8 możliwości; 6 kul - 7 możliwości; ... ; 1 kula - 2 możliwości; 0 kul - jedna możliwość
\(\displaystyle{ 1+2+3+4+5+6+7+8=36}\)

7. Z 24 kart wybieramy 5. Ile jest mozliwosci, w których dostaniemy:
(a) 5 kart w jednym kolorze,
(b) 1 pare i 1 trójke,
(c) dwie pary,

a) chyba \(\displaystyle{ \frac{C^5_6}{C^5_{24}} 4}\) zawsze jak są zadania z kolorami kart, to mnoży się przez 4; a reszta to zwykła kombinacja.

b) \(\displaystyle{ \frac{(6 C^{2}_{4}) (5 C^{3}_{4})}{C^{5}_{24}}}\) nie jestem na 100% pewna, ale chyba dobrze. Bo wydaje mi się, że tą trójkę można wybrać z 3 rodzajów. Ale ten pkt jakiś dziwny. Lepiej by było gdyby ktoś to sprawdził...