ile jest sposobów podziału różnych kwiatkow dla różnych pań

triny · Post autor: **triny** » 15 lis 2011, o 00:33

Hej,
mam problem z zadaniami takiego typu:

Na ile sposobów można rozdzielić 5 kwiatków wśród 3 (rożnych) panien, jeśli każda panna możne
dostać dowolną liczbę kwiatków (włącznie z zerem) oraz kwiatki są a) jednakowe
b) różne?

Z czego należy tutaj skorzystać? Jakie twierdzenia są pomocne w ugryzieniu tego typu zadań? W przypadku a) można to po prostu rozpisać (5, 0, 0); (4, 1, 0) itd. Ale na pewno jest bardziej "elegancki" sposób (liczby Stirlinga mi nie pasują, bo określają tylko podziały na niepuste zbiory, a tutaj może występować zero)
w b) nie wiem z czego skorzystać.

Będę wdzięczna za wytłumaczenie sposobu rozwiązania tego typu zadań, za odesłanie do odpowiedniej teorii, czy cokolwiek co pomoże mi zrozumieć w jaki sposób należy to rozwiązać.

marcin_smu · Post autor: **marcin_smu** » 15 lis 2011, o 01:12

a) Jeśli umiałbyś to zadanie zrobić, gdyby każda panna dostała jakiś kwiatek, to czemu po prostu nie dołożysz 3 kwiatków i nie rozwiążesz swoim sposobem. Podział (a,b,c) będzie odpowiadał podziałowi (a+1,b+1,c+1) w tej drugiej wersji.

Ukryta treść:

b)Ten podpunkt jest łatwiejszy, dla każdego kwiatka istnieją 3 możliwości.

octahedron · Post autor: **octahedron** » 15 lis 2011, o 01:23

Każdy kwiatek dajemy jednej z trzech osób, czyli dostajemy możliwe układy \(\displaystyle{ \left\{ 1,1,1,1,1\right\},\left\{ 1,1,1,1,2\right\},\left\{ 1,1,1,1,3\right\},...,\left\{ 3,3,3,3,3\right\}}\).
a) Kwiatki są jednakowe, czyli kolejność nie ma znaczenia. Mamy więc pięcioelementowe kombinacje z powtórzeniami ze zbioru trzyelementowego, wszystkich jest ich \(\displaystyle{ {5+3-1 \choose 5}= {7 \choose 5}=21}\)
b) Kwiatki są różne, czyli kolejność ma znaczenie. Mamy pięcioelementowe wariacje z powtórzeniami ze zbioru trzyelementowego, wszystkich jest ich \(\displaystyle{ 3^5= 243}\)

triny · Post autor: **triny** » 15 lis 2011, o 01:56

marcin_smu -> ja to rozwiązałam, ale po prostu rozpisując kolejne panny i ile mają kwiatków, natomiast szukam jakiegoś bardziej ładnego sposobu

octahedron -> w tym a) coś nie gra, bo faktycznie według odpowiedzi powinno wyjść 21.
Pytanie ogólne - jeśli coś jest rozróżnialne - to znaczy, że kolejność ma znaczenie, a jeśli nierozróżnialne, to znaczy, że kolejność nie ma znaczenia? Czyli tego typu polecenia można podciągnąć pod schematy wyboru? Jeśli, tak, to ja bym powiedziała, że przypadek a) jest kombinacją bez powtórzeń, ale wynik się nie zgadza, bo wtedy \(\displaystyle{ \left{5 \choose 3}\right = 10}\) Jakoś nie jestem do tego przekonana...

marcin_smu · Post autor: **marcin_smu** » 15 lis 2011, o 15:11

Ok, jak chcesz prosty sposób to ja to widzę tak, weźmy 2 przedmioty(takie same, ale różne od kwiatków) i 5 kwiatków. Dany podział kwiatków pomiędzy kobiety (a,b,c) odpowiada następującemu ułożeniu przedmiotów i kwiatków w rzędzie: a kwiatków; coś innego; b kwiatków; coś innego; c kwiatków. Więc wystarczy policzyć ile jest możliwych wyborów położeń nowych przedmiotów w naszym rzędzie, a jest ich oczywiście \(\displaystyle{ {7\choose 2}}\).

octahedron · Post autor: **octahedron** » 15 lis 2011, o 22:01

Wynik wychodzi dobry, tylko podstawiłem nie to co trzeba, teraz jest prawidłowo i wychodzi \(\displaystyle{ 21}\). Jeśli mamy jednakowe rzeczy, to kolejność się nie liczy, bo jeśli je ułożymy w innym porządku, to mamy to samo, bo elementy są nierozróżnialne. Jeśli są różne, to układając je w innej kolejności dostaniemy coś innego.