Dwumian Newtona

[fazer99]

Mam mały problem z rozpisaniem jednego wzoru. Czy mógłby mi ktoś w tym pomóc ?
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} (k-1) {n \choose k}}\)

[fon_nojman]

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} (k-1) {n \choose k}=\sum_{k=1}^{n} k{n \choose k}-\sum_{k=1}^{n} {n \choose k}.}\)

[fazer99]

nie pomyslałem ze to aż tak logiczne
czyli to się równa: \(\displaystyle{ n \cdot 2^{n-1} - 2^{n-1} = 2^{n-1}(n-1)}\)

thanks for help

[fon_nojman]

Prawie dobrze

\(\displaystyle{ n2^{n-1}-(2^n-1).}\)

Poprawione, powinno być ok.

[fazer99]

ale przecież \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k {n \choose k} = n 2^{n-1}}\), a nie \(\displaystyle{ n 2^{n}-1}\) z