Zbiór X składa się z liczb 1, 2, 3, . . . , 10.
Ze zbioru X wybieramy wszystkie możliwe k–elementowe podzbiory (\(\displaystyle{ k \le 10}\)). Dla
każdego takiego podzbioru obliczamy sumę wszystkich elementów tego podzbioru.
Następnie obliczamy sumę wszytkich w ten sposób otrzymanych sum i oznaczamy
ją przez Sk. Oblicz \(\displaystyle{ S = S_{1} + S_{2} + . . . + S_{10} =}\)
\(\displaystyle{ |X|=10}\)suma wszystkich elementów tego zbioru: \(\displaystyle{ S= \frac{1+10}{2} \cdot 10=55}\)
\(\displaystyle{ {10 \choose 1} =10}\) \(\displaystyle{ S _{1} =55}\)
\(\displaystyle{ {10 \choose 2} = 45}\) \(\displaystyle{ S _{2} =9 \cdot 55=495}\) (każdy element zbioru X wystapi 9 razy)
\(\displaystyle{ {10 \choose 3}=120}\) \(\displaystyle{ S_{3}=36 \cdot 55=1980}\)
Zauważyłam, że dany element występuje \(\displaystyle{ \frac{ {n \choose k} }{ \frac{n}{k} }= {n \choose k} \cdot \frac{k}{n}}\), czyli:
\(\displaystyle{ S_{10}= {10 \choose 10} \cdot \frac{10}{10} \cdot 55=55}\)
\(\displaystyle{ S=S _{1}+S _{2}+...+S _{10}=55+495+1980+4620+6930+4620+1980+495+55=21230}\)
Czy rozwiązałam dobrze? I czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć, dlaczego dany element występuje akurat \(\displaystyle{ \frac{ {n \choose k} }{ \frac{n}{k} }= {n \choose k} \cdot \frac{k}{n}}\) razy?