5 osób, na ile sposobów można ustawić w szereg, przy stole

[rasoir16]

Witam, mam takie zadanko:

Mamy 5 osób, na ile sposobów można je ustawić w:

a) szereg
b) dookoła okrągłego stołu

przyjmując, że osoby A i B muszą stać lub siedzieć obok siebie.

Jeżeli chodzi o szereg to rozumiem to tak:

mamy 4 możliwe ustawienia: ab_ _ _, _ab_ _, _ _ab_, _ _ _ab
czyli liczba permutacji w każdym ustawieniu wynosi 3!, a że mamy 4 ustawienia to daje nam to:

3! * 4 = 24

Dobrze myślę? Ale wydaje mi się również, że zmiana miejscami a i b to też co innego... i tutaj się już gubię

Z góry dziękuję!

[Lider Artur]

Tak, swój wynik musisz przemnożyć jeszcze przez 2, ponieważ mogą siedzieć AB lub BA.
\(\displaystyle{ 4\cdot 3! \cdot 2=48}\)

[rasoir16]

OK, czyli szereg jasny, ale jak teraz będzie z okrągłym stołem? Bo wg mnie powinno być podobnie, ale matematyczka sugerowała, że będzie się to różnić, dlatego nie wiem...

[Lider Artur]

Tak, będzie się różnić.
Zauważ, że jeśli w szeregu ustawimy osoby następująco:
\(\displaystyle{ ABCDE}\) a potem \(\displaystyle{ BCDEA}\)
to są to dwa różne ustawienia.
Natomiast przy okrągłym stole jest to jedno i to samo. Na tym polega różnica.

[rasoir16]

Hmmm... więc nasuwa mi się odpowiedź:

\(\displaystyle{ (3!*8) - 3!}\)

Dobrze kombinuję?

EDIT:

Choć w sumie to się teraz pastwię nad zeszytem i jakoś tego nie widzę Mógłbyś to jakoś zobrazować albo opisać dokładniej?

[Lider Artur]

A czemu? Uzasadnij

[rasoir16]

Mój błąd bierze się stąd, że nie bardzo to widzę, bo wydaje mi się, że tylko jedno ustawienie się powtarza dlatego odejmuję \(\displaystyle{ 3!}\), choć to chyba błędne rozumowanie. Nie potrafię sobie tego wyobrazić

[Lider Artur]

Popatrzmy na to w ten sposób:
5 osób możemy ustawić przy okrągłym stole na \(\displaystyle{ 4!}\) różnych sposobów
Czemu? Obojętnie jakiej osobie przypisujemy jakieś krzesło (miejsca nie są numerowane, więc nas to nie obchodzi jakie) i pozostałe 4 osoby permutujemy.
Nas interesuje, by A i B siedziały obok siebie. W takim razie potraktujmy je jako jedność.
Stąd mamy \(\displaystyle{ 3!}\) ustawień. A i B możemy zamieniać ze sobą miejscami - powinnismy przemnożyć tą liczbe przez \(\displaystyle{ 2}\). Jednak z drugiej strony CDABE to takie same ustawienie jak EBADC - więc nie trzeba mnożyć.
Ostateczna odpowiedź to \(\displaystyle{ 3!}\)

[rasoir16]

OK! Dzięki za pomoc!