Kombinacje, 2 zadania

[add00]

Proszę sprawdźcie czy zadania są prawidłowo rozwiązanie, a jeśli nie gdzie robię błąd.

Zad.2

Na ile sposobów można rozdzielić 15 batonów pomiędzy 5 pracowników (takich samych batonów)?

a) nie ma ograniczeń do przydziału (może każdy może otrzymać od 0 do 15 batonów)
b) nie ma ograniczeń do przydziału (- || - od 1 do 15)
c) każdy pracownik co najmniej 2 batony?

a) Kombinacja bez powtórzeń.
\(\displaystyle{ n = 16}\) i \(\displaystyle{ k = 5}\)
\(\displaystyle{ \frac{16!}{(16-5)! \cdot 5!} = \frac{16!}{11! \cdot 5!} = 4368}\)

b) Kombinacja bez powtórzeń.
\(\displaystyle{ n = 15}\) i \(\displaystyle{ k = 5}\)
\(\displaystyle{ \frac{15!}{(15-5)! \cdot 5!} = \frac{15!}{10! \cdot 5!} = 3003}\)

c) Kombinacja bez powtórzeń.
\(\displaystyle{ n = 5}\) (bo 15 - 10 (liczba batonów przydzielona z góry) = 5 i \(\displaystyle{ k = 5}\)
\(\displaystyle{ \frac{5!}{(5-5)! \cdot 5!} = \frac{5!}{0! \cdot 5!} = 1}\)

Dobrze myślę? Czy może kombinacja z powtórzeniami (jeśli tak to dlaczego)?



Zad.3
Wyznacz liczbę całkowitych liczbowo rozwiązań równania gdzie:
\(\displaystyle{ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 36}\)

a)\(\displaystyle{ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 \ge 0}\)
b)\(\displaystyle{ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 > 0}\)
c)\(\displaystyle{ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 \ge -2}\)

Nie bierzemy pod uwagę wszystkich elementów ze zbioru, nie ważna jest kolejność ({\(\displaystyle{ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = x_1 + x_3 + x_2 + x_4}\), losujemy wartosc pod np \(\displaystyle{ x_1}\) i zwracamy a więc kombinacja z powtórzeniami.

a) n = 36 k = 4
\(\displaystyle{ \frac{(36+4-1)!}{4!(36-1)!} = \frac{39!}{4!35!}}\)

b) n = 32 k = 4
\(\displaystyle{ \frac{(32+4-1)!}{4!(32-1)!} = \frac{35!}{4!33!}}\)

c) n = 44 k = 4
\(\displaystyle{ \frac{(44+4-1)!}{4!(44-1)!} = \frac{47!}{4!43!}}\)

Wszystko ok? Co bierzemy za n a co za k?

[Lider Artur]

Zad2 a) czemu \(\displaystyle{ n=16}\)?

[add00]

Zad2 a) czemu \(\displaystyle{ n=16}\)?

Ponieważ w zbiór od 0 - 15, czyli 16 elementów

[Lider Artur]

Nie, elementów jest \(\displaystyle{ 15}\).
W przykladzie b) powinno być za to \(\displaystyle{ {10 \choose 5}}\)

[add00]

Nie, elementów jest \(\displaystyle{ 15}\).
W przykladzie b) powinno być za to \(\displaystyle{ {10 \choose 5}}\)

A dlaczego? 0 nie jest jednym z elementów zbioru?

W przykladzie b) powinno być za to

10? a co z 5 batonami?

Jeśli możesz wytłumacz, dzięki wielkie za pomoc

[Lider Artur]

Bo głębszym zastanowieniu się , ani Twoja, ani moja odpowiedź nie jest poprawna.

Zadanie sprowadza się do typowego przykładu:
na ile sposobów można rozmieścić \(\displaystyle{ n}\) nierozróżnialnych kul w \(\displaystyle{ k}\) urnach?

U nas n=15 i k=5.

Zastanów się, ile jest takich możliwości