ilość kombinacji

[Hebo]

Mamy dziewięć liczb (od jeden do dziewięć) i układamy je wszystkie w taki sposób aby liczby jeden i dziewięć nie stały obok siebie. Na ile sposobów jest to możliwe?

mi wychodzi ze jest to \(\displaystyle{ 7! \cdot 112}\)

a te 112 to obliczyłem "na piechote" ile jest sposobów aby ustawić liczby aby 1 i 9 nie stały obok siebie.

[loitzl9006]

Ogólnie te cyfry możemy ustawić na \(\displaystyle{ 9!}\) sposobów.
Istnieje \(\displaystyle{ 16}\) różnych wariantów ustawienia cyfr \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 9}\) obok siebie. Dla każdego z takich szesnastu wariantów możemy pozostałe 7 cyfr ustawić na \(\displaystyle{ 7!}\) sposobów, a więc na \(\displaystyle{ 16 \cdot 7!}\) sposobów można ustawić \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 9}\) obok siebie, a stąd wniosek, że na \(\displaystyle{ 9!-16 \cdot 7!}\) sposobów można ustawić liczby aby \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 9}\) nie stały obok siebie.

[Errichto1]

Ogólnie te cyfry możemy ustawić na \(\displaystyle{ 9!}\) sposobów.
Istnieje \(\displaystyle{ 16}\) różnych wariantów ustawienia cyfr \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 9}\) obok siebie. Dla każdego z takich szesnastu wariantów możemy pozostałe 7 cyfr ustawić na \(\displaystyle{ 7!}\) sposobów, a więc na \(\displaystyle{ 16 \cdot 7!}\) sposobów można ustawić \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 9}\) obok siebie, a stąd wniosek, że na \(\displaystyle{ 9!-16 \cdot 7!}\) sposobów można ustawić liczby aby \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 9}\) nie stały obok siebie.

Czy aby na pewno ?
\(\displaystyle{ _ _ _ _ _ _ _ _ _}\)
Liczb mamy dziewięć, zatem wszystkich kombinacji jest \(\displaystyle{ 9!}\)
Skoro liczb jest dziewięć, a 1 i 9 nie może stać obok siebie to uznałbym te dwie liczby za jeden element. Wtedy obliczam ile jest takich kombinacji. Czyli \(\displaystyle{ (1,9),2,3,4,5,6,7,8}\)
Trzeba zwrócić na fakt, że 1 i 9 może być również w odwrotnej kolejności, tzn 9 i 1. Dlatego jako, że mamy 8 elementów razy dwie możliwości pozycji tych liczb 1 i 9 wyniesie \(\displaystyle{ 8! * 2!}\)
Teraz trzeba odjąć od wszystkich kombinacji to co obliczyliśmy przed chwilą.
Tak więc to będzie \(\displaystyle{ 9! - (8! * 2!)}\)

PS. poprawiłem, zajrzałem do zeszytu
PS2. skąd się wzięło autorowi te 112?
---
To już ostatni edit, myślę, że teraz mam rację

[Qń]

Liczb mamy dziewięć, warunkiem jest aby 1 i 9 stały nie obok siebie.
Zatem \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 9}\) zakreśliłbym jako jeden element.
Tak więc wyjdzie \(\displaystyle{ 7! * 2!}\), a \(\displaystyle{ * 2}\) bierze się stąd, że liczby jedynka nie może stać obok dziewiątki lub vice versa.

Z całym należnym szacunkiem - to bez sensu. Co miałoby znaczyć "zakreślić jako jeden element"?

Rozwiązanie loitzl9006 jest oczywiście poprawne.

Q.

[Errichto1]

Liczb mamy dziewięć, warunkiem jest aby 1 i 9 stały nie obok siebie.
Zatem \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 9}\) zakreśliłbym jako jeden element.
Tak więc wyjdzie \(\displaystyle{ 7! * 2!}\), a \(\displaystyle{ * 2}\) bierze się stąd, że liczby jedynka nie może stać obok dziewiątki lub vice versa.

Z całym należnym szacunkiem - to bez sensu. Co miałoby znaczyć "zakreślić jako jeden element"?

Rozwiązanie loitzl9006 jest oczywiście poprawne.

Q.

Poprawiłem moją odpowiedź, nie zdarzyłem jednak dobrze przeedytować.
Dopiero się uczę na tym forum. Teraz moja wypowiedź powinna być prawidłowa.

[Qń]

Tak, teraz jest ok i wynik jest taki sam jak u przedmówcy.

Q.